数学物理方法习题全解
篇一：数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明Rez在z平面上处处不可导。
证明：令Rez?u?iv。?Rez?x，?u?x,v?0。
?u?x
?1，
?v?y
?0
，
?u?x
?
?v?y
。
于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件， 所以Rez在z平面上处处不可导。
2、试证f
?z??
z
2
仅在原点有导数。
z
2
证明：令f?z??u?iv。???f?z??
?u?x
?2x,???
?u?y
?2y。?
?v?x??v?y
?x?y????????u?x?y,v?0
2222
。
???
。
(来自:WWw.SmhaiDa.com 海达范文网:数学物理方法习题全解)?u?x
?u?y
?v?x
?v?y
在原点
所以除原点以外，u,v不满足C－R条件。而
??,?????,??
连续，且满足C－R条件，所以f?z?在原点可微。
?v???uf??0????i?
?x???x
?z?z
2
x?0y?0
??v?u?
???i?
?y?y??
*
?0。
x?0y?0
2
或：f??0???lim
z?0
lim
z??z
2
?lim??z??lim??x?i?y??0
?z?0
?x?0?y?0
。
。
*
?z
?z?0
?z
?lim
?zz??zz
?z
*
?i2?
**
?z?0
?lim(z?
?z?0
*
?z
*
?z
z)???0
z?0
【当z?0,?z?rei?，
?z
?z
?e
与趋向有关，则上式中
?z
?z
?
?z
*
?z
?1】
3、设
?x3?y3?i(x3?y3)?22
f(z)??x?y
?0?
z?0z=0
，证明f?z?在原点满足C－R条件，但不
可微。
证明：令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则
?x3?y3
?
u?x,y???x2?y2
?0??x3?y3?
v(x,y)??x2?y2
?0?ux(0,0)?lim
x?y?0x?y=0
2
2
22
，
x?y?0x?y=0
2
2
22
。
u(x,0)?u(0,0)
x
u(0,y)?u(0,0)
y
x?0
?lim
xx
33
x?0
?1，
uy(0,0)?lim
y?0
?lim
?yy
3
3
x?0
??1；
vx(0,0)?lim
v(x,0)?v(0,0)
x
v(0,y)?v(0,0)
y
x?0
?lim
xx
33
x?0
?1，
vy(0,0)?lim
y?0
?lim
yy
33
x?0
?1。
??ux(0,0)?vy(0,0)??,??uy(0,0)??vx(0,0)
?f(z) 在原点上满足C－R条件。
3
3
但limz?0
f(z)?f(0)
z
?lim
x?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)
2
2
33
z?0
。
令y沿y?kx趋于0，则
lim
x?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)
2
2
3
3
3
3
z?0
?
1?k?i(1?k)(1?k)(1?ik)
2
33
?
k?k?k?1?i(k?k?k?1)
(k?1)
2
2
4343
依赖于k，?f(z)在原点不可导。
4、若复变函数f?z?在区域D上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D上
必为常数。
（1）f?z?在区域D上为实函数； （2）
f
*
?z?在区域D上解析；
（3）Ref?z?在区域D上是常数。 证明：（1）令f(z)?u(x,y)
?iv(x,y)
。
由于f?z?在区域D上为实函数，所以在区域D上v(x,y)?0。 ?
f(z)在区域D
上解析。由C－R条件得
??
?v?x?0。
?u?x
?
?v?y
?0，
?u?y
?在区域D上u(x,y)为常数。从而f?z?在区域D上为常数。
（2）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则f*(z)?u(x,y)?iv(x,y)。 ?
?u?x
f(z)在区域D
上解析。由C－R条件得 。 （1）
?
?v?y
,??
?u?y
??
?v?x
又f*(z)在区域D上解析，由C－R条件得
?u?x
??
?v?y??,???u?y
??v?x
。 （2）
联立（1）和（2），得
?u?x
??u?y
??v?x??v?y
?0。
?u,v在区域D上均为常数，从而f(z)在区域D上为常数。
f(z)?u?x,y?。
?u?x
??u?y
?0。
（3）令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则Re
由题设知u?x,y?在区域D上为常数，?
又由C－R条件得，在区域D上
?v?x??
?u?y
?0?,??
?v?y
??u?x
?0，于是v在区域D
上为常数。
?u,v在区域D上均为常数，从而在区域D上f(z)为常数。 5、证明xy2不能成为z的一个解析函数的实部。
证明：令u?
xy
2
，
?u?x
2
2
?
?u?y
2
2
?0?2x?2x
。
的一个解析函数的实
从而它不能成为z?u 不满足拉普拉斯方程。部。
6、若z?x?iy，试证：
（1）sinz?sinxcoshy?icosxsinhy； （2）cosz?cosxcoshy?isinxsinhy； （3）sinz（4）cosz
2
＝sinx?sinhy
2
2
22
；
2
?cosx?sinhy。
证明：（1）sinz?sin(x?iy)?sinxcos(iy)?cosxsin(iy)
?cos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy
，
?sinz?sinxcoshy?icosxsinhy。
（2）cosz?cos(x?iy)?cosxcos(iy)?sinxsin(iy) ?cos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy，
cosz?cosxcoshy?isinxsinhy。
2
（3）sinz
?(sinxcoshy)?(cosxsinhy)?sinxcoshy?cosxsinhy
2
2
2
222222
?sinx(1?sinhy)?cosxsinhy
2
?sinx?(sinx?cosx)sinhy?sinx?sinhy
222222
。
（4）cosz2
?(cosxcoshy)?(sinxsinhy)?cosxcoshy?sinxsinhy
2
2
2
2
222222
?cosx(1?sinhy)?sinxsinhy ?cosx?cosxsinhy?sinxsinhy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?cosx?(cosx?sinx)sinhy?cosx?sinhy。
7、试证若函数f?z?和??z?在z0解析。f?z0????z0??0
则lim
f?z?
z?z0
,
???z0??0，
??z?
?
f??z0?
???z0?
。（复变函数的洛必达法则）
证明：
f?(z0)
lim
f(z)?f(z0)
z?z0
f(z)?f(z0)
?lim
z?z0
z?z0
??(z0)
?
z?z0
z?z0
lim
?(z)??(z0)
z?z0
?(z)??(z0)
z?z0
?lim
f(z)?f(z0)
z?z0
?(z)??(z0)
?lim
f(z)
z?z0
?(z)
。
或倒过来做。 8、求证：lim
证明：lim
z?0
sinzzsinzz
z?0
?1。 ?lim
(sinz)?z?
?limcosz?1。
z?0
z?0
第二章习题解答 9、利用积分估值，证明 a．??i?x2?iy2?dz 右半圆周。 b．证明?
2?ii
i
??
积分路径是从?i到i的
dzz
2
?2积分路径是直线段。
证明：a．（方法一）
??x
?i
i
2
?iy
2
?dz???
x
?i
i
2
?iy
2
?
dz?
?
i?i
?
?
i?i
?
?
i???
。
篇二：数学物理方法第四版第五章习题答案
篇三：数学物理方法习题解答
注意：可以分情况讨论，分别讨论a,b的正负，和在各个象限的情况，把图画出来，看是否能围成区域，情况过于复杂，此处就不再讨论。
篇四：数学物理方法习题及解答
2. 试解方程：z4?a4?0,?a?0?
z4??a4?a4ei?z?ae
i
??2k?4i
,k?0,1,2,3
??0,则z??0,i?0,??0,?i?0
?4
若令ae
1．计算：
（1）
1?2i2?i
? 3?4i5i
（2）
y?
?（3）
求复数的实部u和虚部v、模r与幅角
??
2
(1) 原式=
?1?2i???3?4i???2?i??5i?3?10i?8?10i?5??2
9?16
i(
?2525?255
（2） 原式?2e(3)
2
3
1032k???)205
(k?0,1,2,3,4)
22?
?i???2?2?13
原式??cos?isin?cos?isin?e???,??33?332???
12?
所以：u??，v?r?1,???2k?,k?0,?1,?2,?
23
3．试证下列函数在z平面上解析,并分别求其导数.
(1)ex?xcosy?ysiny??iex?ycosy?isiny?
3.
证明：u?ex?xcosy?ysiny?,v?ex?ycosy?xsiny?,?u
?ex?xcosy?ysiny??excosy,?x?u
?ex??xsiny?siny?ycosy?,?y?v
?ex?ycosy?xsiny??exsinysiny,?x?v
?ex?cosy?ysiny?xcosy?,?y
?u?v?u?v?,??。
?x?y?y?x由于u,v在z平面上可微
所以f?z??u?iv在z平面上解析。f??z??
?u?v
?i?ex?xcosy?ysiny??excosy?i?ex?ycosy?xsiny??exsiny?.?x?x
由下列条件求解析函数f?z??u?iv u?x2?y2?xy,f?i???1?i,
解：
?u?v1??2x?y,?v?2xy?y2???x?,?x?y2?v?u?v1
?2y????x?,而????2y?x,????x???x,即??x???x2?c,?x?y?x211??所以f?z??x2?y2?xy?i?2xy?y2?x2?c?,
22??
11
由f?i???1?i,知x?0,y?1,带入上式，则?c?1,c?,
22111??
则解析函数f?z??x2?y2?xy?i?2xy?x2?y2??.
222??2. 试求?1?i?,3i,ii,e2?i.
i
解：?1?i??e
?e
i
iLn?
1?i?
?e
?????
i?i??2k???
4????
?e
?(?2k?)?i4
?
?
?(?2k?)4
?
?cos?
ln?isin??,k?0,?1,?2?,
?e
??????2k???2?
3i?eiLn3?ei?ln3?i2k???e?2k??iln3?e?2k??cos(ln3)?isin(ln3)?,k?0,?1,?2?, i?e
i
iLni
?e
?????
i?ln1???2k??i?
2????
,k?0,?1,?2?,
e2?i?e2?ei?e2?cos1?isin1?.
3. 计算 ?
dz
,c:z?1
cz2?2z?2
2
解：z2?2z?2?0时，?
z?1??1?0,z?1?i,z??1?i,z? 1而在cz?1,故z?2z?2?0,2在c内解析，故原式?0
z?2z?2
2
1.计算
2z2?z?1(1)?dz,cz?2 cz?1(2)?2z2?z?1
2
c
?z?1?
dz,cz?2
（1）解：原式?2?i(2z2?z?1)（2）解：原式?2?i(2z2?z?1)?
z?1
=4?i =2?i(4z?1)
z?1
z?1
?6?i
sin(z)
dz,其中
(1)c:z?1?1,(2)c:z?1?1,(3)c:z?2. . 计算?cz2?122
????sinz(z?1)?sinz?解：(1)原式
???2?i??i. ?cz?1z?12??
??z??1
????sinzz?1)sinz??(2)原式???2?i??i. ?cz?1?z?1?
??z?1
?
(3)c:z?2,以分别以z?1,z??1为中心，1为半径，做圆
c1,c2.
原式??
sin
?
c1
dz?dz?i?i?i. ?c2z2?1z2?1zsin
?
z
3、将下列函数按?z?1?的幂级数展开，并指明收敛范围。
z z?2
?
z2112??z?1?n?1?z?1??1??1?2???1???,??1?2???1?n?1z?2z?231?z?13n?0??3?3n?0
?3
z?1?1,即?3??z?1??3,此为级数的收敛范围。
?3
n
n
1. 把f?z??
1
展开成在下列区域收敛的罗朗（或泰勒）级数
z1?z (1) z??1, (2) 1?z??2, (3)z??2. (1)；z??1,
解：f?z??
?
11111
??????
z1?zz1?z1?z?12
n
n
1
z?11?
2
?
1??z?1??1?n
????z?1???????n?1?1???z?1?.?2n?0?2??n?0n?0?2
(2)；1?z??2,
解：f?z??
1
1z?11?1?z?12
nnn??
?1??1?1??z?1?1z?1????n?1????????2?n?1
z?1n?0?z?1?22?n?0?n?0z?1n?0
?
1111
????
z1?zz1?zz?1
1
1?2
(7)z??2.
解：f?z??
1111
????
z1?zz1?zz?1
n
n
11?1z?1
?
?1
?z?1
11?2z?1
??
1??1??1??2?12n???.????????z?1??n?1n?1
z?1n?0?z?1?z?1?n?0?n?0z?1n?0z?1
1
2、计算积分 ??z?1zsinzdz
解：
f?z??
1
的奇点为z?n?(n?0,?1,?2,?) zsinz
在z?1内只有一个奇点z?0
?limz2?
1z
?lim?1 zsinzsinzz?0z?0
?z?0为f(z)的二阶极点Resf(z)?lim
d?21?dzz??lim()?z?0dz?z?0dzsinzz?0zsinz??sinz?zcoszcosz?cosz?zsinz ?lim?limz?0z?0sin2z2sinzcosz
z
＝lim?0
z?02cosz1
sf(z)?0??z?1zsinzdz?2?iRez?0
3．求解定解问题
utt?a2uxx=0 (0?x?l,t?0) u(0,t)?0,u(l,t)?0(t?0)
?x?x
u(x,0)?sin,ut(x,0)?sin
ll
解：
(0?x?l)
u(x,t)??Tn(t)sin
n?1
?
?
n?xl
????n2?2a2n?xT(t)?T(t)sin?0??n?n2
lln?1??222n?an?atn?at
Tn??(t)?T(t)?0 T(t)?Acos?Bsinnnnn
l2ll?
n?atn?at?n?x?
u(x,t)???Ancos?Bnsinsin ?ll?ln?1?
?
n?x?x
u(x,0)??An?sin?sin?A1?1,An?0 (n?1)
lln?1
?
n?an?x?x?al
ut(x,0)??Bn?sin?sin ?B1?1?B1?,Bn?0( n?1)
llll?an?1
?atl?at?x
? u(x,t)?(cos?sin)sin
l?all
1．试用分离变量法求解定解问题
篇五：数学物理方法典型习题
典型习题
一、填空题：
1
的值为，。
2
、?1?的指数表示为_________ ,三角表示为 。
(k!)2
k3、幂级数?kz的收敛半径为 。
k=1k?
4、ln(?5)的值为 。
5、均匀介质球，半径为R0，在其中心置一个点电荷Q。已知球的介电常数为 ?，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。
6、在单位圆的上半圆周，积分?1
?1|z|dz?__________。
7、长为a的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。
8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。
9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f（k）的傅里叶逆变换为 。
10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。
二、简答题
1、已知f(z)?u?iv是解析函数，其中v(x,y)=x?y+xy，求 u(x,y)。 22
1，写出z平面的直线Imz?1在w平面中的u,v满足的方程。 z
13、将函数f(z)?2在环域2?|z|?3及0?|z?2|?1内展开成洛朗级数． z?5z?62、已知函数w?
4、长为L的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。
三、计算积分： sinzdzzdzI?1. I???|z|?2z(z?3) ?|z|?2(z?1)2(2z?1) 2．?
3.I???
02x2zdzI? 4. |z|?122??(1?x)(3z?1)(z?2)
2?xcoszdz5. I???|z|?2z3 6. I??01?x4
7、??
0?cosxsinxdx 8、? 20x1?x
四、使用行波法求解下列方程的初值问题
?u??u?a,??x??t?u(x,0)?cos2x,???ut(x,0)?x?1,22222???x???,t?0???x???
五、求解下列定解问题：
1. ??2u?2u?2, ??t2?x? ?u(0,t)?u(1,t)?0,
??u(x,0)?u(x,0)?sin?x,?0, ?t? 0?x?1,t?0t?00?x?1
2.在水平向右的均匀外电场E中置入半径为R0的导体球，如图所示。若导体球上接有电池，使球与地面保持电势差为u0,设球心与无穷远的连线与外电场间的夹角为?，导体球置入前球心的电势u(0)?0. （已知P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=
12(3x-1)）
2
（1） 写出定解问题
（2） 求出球内外的电势。
3.半径为R0的球面上电势分布为2cos2?,求球内外空间的电势分布。
六、用傅里叶变换法求解下列扩散方程的初值问题 ut?uxx?0
u(x,0)??(x)
七、拉氏变换问题： (???x??, t?0) 已知F[?(x)]=a[?(k?b)??(k?b)]，a，b为常数。
（1）证明：L[sindt]=d 22p+d
（2）用拉氏变换法求解下列问题：
t?dy?a+b?0ydt=c，a,b,cy(t)满足：?dt?y(0)=0?为常数。试用拉氏变换法求y(t)随时间的变
化规律。
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