小学奥数题目及解析：分类枚举

分类枚举，就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型，一一列举出来。分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复，其中分类标准的确定是解题的关键，同一题因标准不同可能有不同的分类方法，好的分类方法会使解题过程变得更加简单。学会分类枚举，不仅可以解决本讲的问题，遇到更复杂问题时，我们也可以用列举的方法找出部分答案，然后在已有答案中发现规律，从而进一步寻求解题方案。

　　【题目】：

　　把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？

　　【解析】：

　　这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。

　　因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：

　　一、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只；②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。

　　二、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只；②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。

　　三、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。

　　所以共有放法：4+3+1=8（只）。

　　【题目】：

　　有一架天平和三只重量分别为1克，3克，6克的砝码，你知道用这架天平和这些砝码共能称出多少种重量吗？

　　【解析】：

　　这一题要在孩子学习了三上第三单元，认识了常见的称和质量单位后，再学习比较合适。如果超前完成，需要对孩子介绍一下天平的用法。

　　因为1克+3克+6克=10克，所以这架天平最重能称出10克，最轻能称出1克。因此这架天平最多能称出1克到10克之间的10种不同重量的物体，然后我们再对这10类情况进行验证：

　　①天平左边：物体 右边：1克砝码 能称出1克重的物体；

　　②天平左边：物体+1克砝码 右边：3克砝码 能称出2克重的物体；

　　③天平左边：物体 右边：3克砝码 能称出3克重的物体；

　　④天平左边：物体 右边：3克砝码+1克砝码 能称出4克重的物体；

　　⑤天平左边：物体+1克砝码 右边：6克砝码 能称出5克重的物体；

　　⑥天平左边：物体 右边：6克砝码 能称出6克重的物体；

　　⑦天平左边：物体 右边：6克砝码+1克砝码 能称出7克重的物体；

　　⑧天平左边：物体+1克砝码 右边：6克砝码+3克砝码 能称出8克重的物体；

　　⑨天平左边：物体 右边：6克砝码+3克砝码 能称出9克重的物体；

　　⑩天平左边：物体 右边：6克砝码+3克砝码+1克砝码 能称出10克重的物体。

　　在列举的过程中可以让孩子慢慢的领悟规律：有1克和3克的砝码，不仅可以称出1克和3克重的物体，还可以称出重量是1克和3克的和或差的物体，依此类推。

　　所以这架天平最多能称出10种不同重量的物体。

　　【题目】：

　　1997 的数字和是1+9+9+7=26，在小于2000的四位数中，数字和为26的除了1997外还有几个？

　　【解析】：

　　小于2000的四位数都是一千多，千位上都是1。数字和为26，26-1=25，个、十、百三位上的数字和为25。25-9-9=7，因此三个数位上数字最小不能小于7，最大不能大于9。我们根据百位上数字的大小分为三类：

　　一、百位上数字是7，有1个：1799；

　　二、百位上数字是8，有2个：1889、1898；

　　三、百位上数字是9，有3个：1979、1988、1997；（千位和百位上的数字确定后，十位上数字再按从小到大枚举出所有情况。）

　　所以符合条件的数共有6个，除了1997外，还有5个。小学奥数