依概率收敛问题的证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 09:49:15
依概率收敛问题的证明
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依概率收敛问题的证明
依概率收敛问题的证明
 

依概率收敛问题的证明
令Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²,考虑到X{i}独立同分布,则
E(Y)=1/n*∑{i=1,n}E(X{i}²)= E(X{i}²)=D(X{i})+ E(X{i})²=σ²
D(Y)=1/n²*∑{i=1,n}D(X{i}²)=1/n* D(X{i}²)=1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}
∵E(X{i}⁴0,有
0≤P{|Y-E(Y)|≥ε}≤D(Y)/ε²,即
0≤P{|Y-σ²|≥ε}≤1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}/ε²
≤1/n*(M-σ⁴)/ε²
而lim{n→∞}1/n*(M-σ⁴)/ε²=0
由夹逼定理可知,lim{n→∞}P{|Y-σ²|≥ε}=0
即Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²依概率收敛于σ²

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