梅涅劳斯定理的作用是什么

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 19:15:31
梅涅劳斯定理的作用是什么
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梅涅劳斯定理的作用是什么
梅涅劳斯定理的作用是什么

梅涅劳斯定理的作用是什么
梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
  或:设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
  证明一:
  过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
  则AF/FB=AG/BD ,BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG.
  三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
  证明二:
  过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF
  所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
  它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
梅涅劳斯(Menelaus)定理
  证明三:
  过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC',
  所以AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA'
  所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
  此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆:
  在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB.于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=-1.(注意与塞瓦定理相区分,那里是λμν=1)