以知mx''=GMm/x^2,x上下限分别为R+H,R.求时间t(x)=?二楼,dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt这步积分可否在具体点?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/18 20:39:23
以知mx''=GMm/x^2,x上下限分别为R+H,R.求时间t(x)=?二楼,dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt这步积分可否在具体点?
以知mx''=GMm/x^2,x上下限分别为R+H,R.求时间t(x)=?
二楼,dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt
这步积分可否在具体点?
以知mx''=GMm/x^2,x上下限分别为R+H,R.求时间t(x)=?二楼,dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt这步积分可否在具体点?
首先求出x=R时的速度v',
变换微分方程为x''=GM/x^2,
进而左侧用dv替换,变成vdv=GM/x^2*dx
积分v:0->v',x:R+H->R
得v'=根号下2GM(1/R-1/(R+H))
类似的,x=R+r,0<r<H时,速度v(r)为根号下2GM(1/R-1/(R+r))
解出x=R+r时速度v(r)与x的关系为x=GM/(GM/R-1/2*v(r)^2)
再利用dv=adt,即dv=GM/x^2*dt,将x用含有v(r)的式子代换,
得到dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt
查积分表,可解该微分方程:
t=vR/2/(GM/R-1/2*v^2)+R/(2根号2)*根号(R/G/M)*ln绝对值((v/根号2+根号(GM/R)/v/根号2-根号(GM/R)))
将x=R处速度v'=根号下2GM(1/R-1/(R+H))代入,得到时间
T=(根号下2GM(1/R-1/(R+H))
)R/2/(GM/R-1/2*(根号下2GM(1/R-1/(R+H)))^2)+R/(2根号2)*根号(R/G/M)*ln绝对值(((根号下2GM(1/R-1/(R+H)))根号2+根号(GM/R)/(根号下2GM(1/R-1/(R+H)))/根号2-根号(GM/R)))
结果很复杂.
帮你化简了一下,见附图
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补充,图中附上积分公式了,你可以套公式积分.
问题里的x都是关于t的函数x(t)吧,x上下限与时间的关系是怎样的?这个可能要用lapalace变换…
补充哈问题吧…
二楼说的是对的,可以用变换求解,当然也有别的办法解。但是如果知道零时刻的速度和位移,用拉普拉斯变换解这个方程肯定是最简单的,考试时也才有可能做出来…你没补充问题,建议你参考那个部分的高数书……...
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问题里的x都是关于t的函数x(t)吧,x上下限与时间的关系是怎样的?这个可能要用lapalace变换…
补充哈问题吧…
二楼说的是对的,可以用变换求解,当然也有别的办法解。但是如果知道零时刻的速度和位移,用拉普拉斯变换解这个方程肯定是最简单的,考试时也才有可能做出来…你没补充问题,建议你参考那个部分的高数书……
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这是二次微分方程 变化一下 就可以 消去高次微分项 变为 常微分方程 然后可求解 高数课本上有解法 看一下 没什么可说的
应该加上一个条件吧:物体的初速度为0.不然没法算的,答案见图