高一数学---线面、面面垂直三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD‖CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）.DE=DA (2)平面BDMN垂直平面ECA

高一数学---线面、面面垂直三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD‖CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）.DE=DA (2)平面BDMN垂直平面ECA
高一数学---线面、面面垂直
三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD‖CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）.DE=DA (2)平面BDMN垂直平面ECA

高一数学---线面、面面垂直三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD‖CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）.DE=DA (2)平面BDMN垂直平面ECA
1）
过D作DF⊥CE于F
则：EF=CE-BD=2BD-BD=BD
DF=BC,而正三角形ABC中,BC=BA,所以,DF=AB
所以,两个直角三角形△DFE≌△ABD
所以,DE=DA
2）
设N为AC中点,连MN
则MN是△ACE的中位线,所以,MN//CE
而CE//BD,所以,MN//BD
所以,B、D、M、N在同一平面内
平面BDMN与平面ECA 交于MN
AC⊥MN,BN⊥MN
所以,平面BDMN垂直平面ECA

(1) ∵ EC⊥平面ABC,BC在平面ABC中，则EC⊥BC
BD‖CE
∴ BD⊥平面ABC,BC、AB在平面ABC内
∴ BD⊥BC,BD⊥AB,过D作BC的平行线交CE于F
令CE=CA=2BD=a=BC=AB(三角形ABC为正三角形)
则，在直角三角形中，EF=a=FD
所以DE^2=E...

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(1) ∵ EC⊥平面ABC,BC在平面ABC中，则EC⊥BC
BD‖CE
∴ BD⊥平面ABC,BC、AB在平面ABC内
∴ BD⊥BC,BD⊥AB,过D作BC的平行线交CE于F
令CE=CA=2BD=a=BC=AB(三角形ABC为正三角形)
则，在直角三角形中，EF=a=FD
所以DE^2=EF^2+FD^2=2a^2,DE=√2a
又在直角三角形ABD中,AB=DB=a
所以，DA^2=BD^2+AB^2=2a^2,DA=√2a
所以，AD=DE
(2) 过M作MN‖CE,因为CE⊥平面ABC,所以，CE⊥AC，MN⊥AC
又M是AE的中点，所以，N为AC的中点
连接BN，因为三角形ABC是直角三角形，所以BN⊥AC
所以AC⊥平面BDMN
所以平面ECA⊥平面BDMN

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