已知矩阵（图片） 有特征值1和﹣1,求a,b的值,求A所有特征值的特征向量.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/21 01:33:58
已知矩阵（图片） 有特征值1和﹣1,求a,b的值,求A所有特征值的特征向量.
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已知矩阵（图片） 有特征值1和﹣1,求a,b的值,求A所有特征值的特征向量.
已知矩阵（图片） 有特征值1和﹣1,求a,b的值,求A所有特征值的特征向量.


已知矩阵（图片） 有特征值1和﹣1,求a,b的值,求A所有特征值的特征向量.
A有特征值1和 -1
那么
|A-E|=
1 a 2
5 b-1 3
-1 1 -2 第3列减去第1列×2
=
1 a 0
5 b-1 -1
-1 1 0 按3列展开
=1+a=0
解得a= -1
|A+E|=
3 a 2
5 b+1 3
-1 1 0 第2列加上第1列
=
3 a+3 2
5 b+6 3
-1 0 0 按第3行展开
= (-1) *(3a+9 -2b-12)=0
解得a= -1,b= -3
三个特征值的和等于对角线元素之和,那么2-3-1=1-1-λ
得到另一个特征值为λ= -2
λ=1时,
A-E=
1 -1 2
5 -4 3
-1 1 -2 第2行加上第3行×5,第3行加上第1行
～
1 -1 2
0 1 -7
0 0 0 第1行加上第2行
～
1 0 -5
0 1 -7
0 0 0 得到特征向量(5,7,1)^T,
λ= -1时,
A+E=
3 -1 2
5 -2 3
-1 1 0 第1行加上第3行×3,第2行加上第3行×5
～
0 2 2
0 3 3
1 -1 0 第2行除以3,第1行减去第2行×2,第3行加上第2行,交换第1和第3行
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0 得到特征向量(-1,-1,1)^T
λ= -2时,
A+2E=
4 -1 2
5 -1 3
-1 1 1 第2行减去第1行,第1行加上第3行×4,
～
0 3 6
1 0 1
-1 1 1 第1行除以3,第3行加上第2行,交换第1和第2行
～
1 0 1
0 1 2
-1 1 1 第3行加上第1行,第3行减去第2行
～
1 0 1
0 1 2
0 0 0 得到特征向量(-1,-2,1)^T
所以A的特征值为1,-1,-2
对应的特征向量分别是(5,7,1)^T,(-1,-1,1)^T,(-1,-2,1)^T

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