大学!微分!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/13 14:39:03
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∵f(x+y)=f(x)f(y),令y=0,得
f(x)=f(x)f(0),∴(f(0)-1)f(x)=0
若f(0)≠1,在f(x)=0,此函数显然处处可导
且也成立f'(x)=0=f'(0)f(x)
若f(0)=1,则∵f(x)在x=0处可导
∴f'(0)=lim[f(y)-f(0)]/y=lim[f(y)-1]/y,这里y->0
所以f'(x)=lim[f(x+y)-f(x)]/y=[f(x)f(y)-f(x)]/y
=limf(x)[f(y)-1]/y=f(x)lim[f(y)-1]/y=f(x)f'(0)
即f(x)在x处的导数存在,且为f(x)f'(0)