作业帮设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立(1)若k=0,求证:{an}为等比数列(2)确定所有自然数k,使数列{an}成等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 00:56:37
设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立(1)若k=0,求证:{an}为等比数列(2)确定所有自然数k,使数列{an}成等差数列
设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立
(1)若k=0,求证:{an}为等比数列
(2)确定所有自然数k,使数列{an}成等差数列
设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立(1)若k=0,求证:{an}为等比数列(2)确定所有自然数k,使数列{an}成等差数列
证明：(1)当k=0时,f(n)是一个常数（n的0次方）
因为对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立,所以当n=1时,a1=S1=1,f(n)=f(1)=2
那么,Sn=2-an
则,an=Sn-S[n-1]=(2-an)-(2-a[n-1])=a[n-1]-an
得：an/a[n-1]=1/2,故an=(1/2)^(n-1) (n∈N*)
(2)由(1)可知,an=Sn-S[n-1]=[f(n)-an]-[f(n-1)-a[n-1]]
化简得：2an=a[n-1]+f(n)-f(n-1)
当{an}为等差数列时,令公差为d,则an=a1+(n-1)d=dn+1-d
上式变为2(dn+1-d)=d(n-1)+1-d+f(n)-f(n-1)
有f(n)-f(n-1)=dn+1
迭代可知f(n)=f(1)+(dn+1)+[d(n-1)+1]+…+(2d+1)=n+1+(2+n)(n-1)d/2=dn²/2+(d/2+1)n+1-d
所以：当d=0时,k=1；当d≠0时,k=2.
+ SN =常熟=（N +1）+ S（N +1）= 2A（N +1）
一个（n +1）/ AN = 1/2
几何BR / > 2
一个=α1+第（n-1）D =（n-1个）d +1个
SN =（α1+）=（n-1的n / 2个）D + N BR />的+ SN = DN 2 +（-D +1 + D）N +1 D = DN + N +1维
K表= 2