如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E.(1)求证:∠CAE=2∠B;(2)已知:AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/05 12:15:35
如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E.(1)求证:∠CAE=2∠B;(2)已知:AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长.
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如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E.(1)求证:∠CAE=2∠B;(2)已知:AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长.
如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E.

(1)求证:∠CAE=2∠B;

(2)已知:AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长.

如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E.(1)求证:∠CAE=2∠B;(2)已知:AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长.
(1)延长AE交⊙O于点F 所以∠CAF=∠ABF;(同弧上的圆周角与弦切角相等)
又因为∠ABF=2∠B 所以 ∠CAF=∠B
(2)AC²=CDXCB 64=4XCB CB=16 DB=CB-CD=16-4=12
⊙O的半径为DB/2=12/2=6
连接AO 由△AEO∽△CAO 所以AE/AO=AO/CO
AE/6=6/10 AE=36/10

 

AC是圆O的切线,AC²=CD*CB,AC=8,且CD=4,CB=64/4=14,BD=CB-CD=14-4=10

R=DO=AO=DO=1/2*DB=1/2*10=5,

AE⊥BC,AE²=AC²-CE²=AC²-(CD+DE)²,  AE²=AO²-OE²=AO²-(DO-DE)²

AE²=8²-(4+DE)²,AE²=5²-(5-DE)²,   DE=8/3,AE=√176/9=4√11/3