作业帮如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．（1）求证：∠CAE=2∠B；（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 20:44:42
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如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．（1）求证：∠CAE=2∠B；（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．
如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．
（1）求证：∠CAE=2∠B；
（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．
如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．（1）求证：∠CAE=2∠B；（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．
（1）延长AE交⊙O于点F 所以∠CAF=∠ABF；（同弧上的圆周角与弦切角相等）
又因为∠ABF=2∠B 所以 ∠CAF=∠B
（2）AC²=CDXCB 64=4XCB CB=16 DB=CB-CD=16-4=12
⊙O的半径为DB/2=12/2=6
连接AO 由△AEO∽△CAO 所以AE/AO=AO/CO
AE/6=6/10 AE=36/10
AC是圆O的切线，AC²=CD*CB,AC=8，且CD=4,CB=64/4=14,BD=CB-CD=14-4=10 R=DO=AO=DO=1/2*DB=1/2*10=5, AE⊥BC,AE²=AC²-CE²=AC²-(CD+DE)², AE²=AO²-OE²=AO²-(DO-DE)² AE²=8²-(4+DE)²,AE²=5²-(5-DE)², DE=8/3,AE=√176/9=4√11/3