作业帮已知三个正数abc,若a的平方 b的平方,c的平方成等差数列,求证a加b分之一,a加c分之一,b加c分之一成等差数列是1/(a+b) 1/(a+c) 1/(c+b)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 07:02:22
已知三个正数abc,若a的平方 b的平方,c的平方成等差数列,求证a加b分之一,a加c分之一,b加c分之一成等差数列是1/(a+b) 1/(a+c) 1/(c+b)
已知三个正数abc,若a的平方 b的平方,c的平方成等差数列,求证a加b分之一,a加c分之一,b加c分之一成等差数列
是1/(a+b) 1/(a+c) 1/(c+b)
已知三个正数abc,若a的平方 b的平方,c的平方成等差数列,求证a加b分之一,a加c分之一,b加c分之一成等差数列是1/(a+b) 1/(a+c) 1/(c+b)
∵a的平方 b的平方,c的平方成等差数列
∴a^2+c^2=2b^2
又
a^2+c^2=2b^2
c^2-b^2=b^2-a^2
(c-b)(c+b)=(b-a)(b+a)
(c-b)/(a+b)=(b-a)/(c+b)
(c-b)/[(a+b)(a+c)]=(b-a)/[(a+c)(c+b)]
1/(a+b)-1/(a+c)=1/(a+c)-1/(c+b)
1/(a+b)+ 1/(c+b)=2/(a+c)
∴a加b分之一,a加c分之一,b加c分之一成等差数列
因为a的平方 b的平方,c的平方成等差数列
所以2b^2=a^2+c^2
即b^2-a^2=c^2-b^2
1/(a+b)-1/(a+c)
=(a+c-a-b)/[(a+b)(a+c)]
=(c-b)/[(a+b)(a+c)]
=(c-b)(c+b)/[(a+b)(a+c)(c+b)]
=(c^2-b^2)/[(a+b)(a+c)(c+b)]...
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因为a的平方 b的平方,c的平方成等差数列
所以2b^2=a^2+c^2
即b^2-a^2=c^2-b^2
1/(a+b)-1/(a+c)
=(a+c-a-b)/[(a+b)(a+c)]
=(c-b)/[(a+b)(a+c)]
=(c-b)(c+b)/[(a+b)(a+c)(c+b)]
=(c^2-b^2)/[(a+b)(a+c)(c+b)]
1/(a+c)-1/(b+c)
=(b+c-a-c)/[(a+c)(b+c)]
=(b-a)/[(a+c)(b+c)]
=(b-a)(b+a)/[(a+b)(a+c)(c+b)]
=(b^2-a^2)/[(a+b)(a+c)(c+b)]
所以1/(a+b)-1/(a+c)=1/(a+c)-1/(b+c)
即1/(a+b) 1/(a+c) 1/(c+b)成等差数列
收起
1/(a+b)=1*(a-b)/(a+b)(a-b)=(a-b)/(a²-b²)
同理1/(a+c)=(a-c)/(a²-c²) 1/(b+c)=(b-c)/(b²-c²)
∵a²+c²=2b² c²=2b²-a²
1/(a+b)+1/(b+c)=(...
全部展开
1/(a+b)=1*(a-b)/(a+b)(a-b)=(a-b)/(a²-b²)
同理1/(a+c)=(a-c)/(a²-c²) 1/(b+c)=(b-c)/(b²-c²)
∵a²+c²=2b² c²=2b²-a²
1/(a+b)+1/(b+c)=(a-b)/(a²-b²)+(b-c)/(b²-c²)将c²=2b²-a²带入
∴1/(a+b)+1/(b+c)=(a-c)/(a²-b²)
∵1/(a+c)=(a-c)/(a²-c²) 又c²=2b²-a²
∴1/(a+c)=(a-c)/2(a²-b²)
所以1/(a+b)+1/(b+c)=2/(a+c)
所以1/(a+b),1/(a+c),1/(b+c)为等差数列
收起