设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C交与A,B两点,l的倾斜角为60度,向量AF=2向量FB求:椭圆C的离心率 如果AB=15/4,求椭圆C的方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:05:55
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设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C交与A,B两点,l的倾斜角为60度,向量AF=2向量FB求:椭圆C的离心率 如果AB=15/4,求椭圆C的方程
设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C交与A,B两点,l的倾斜角为60度,
向量AF=2向量FB求:椭圆C的离心率 如果AB=15/4,求椭圆C的方程
设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C交与A,B两点,l的倾斜角为60度,向量AF=2向量FB求:椭圆C的离心率 如果AB=15/4,求椭圆C的方程
(1)AB:y=√3(x+c),
代入椭圆方程,b^2*x^2+a^2*3(x^2+2cx+c^2)=(ab)^2,
整理得(3a^2+b^2)x^2+6a^2*cx+a^2(3c^2-b^2)=0,
把b^2=a^2-c^2代入上式得(4a^2-c^2)+6a^2*cx+a^2(4c^2-a^2)=0,
△=36a^4*c^2-4a^2(4c^2-a^2)(4a^2-c^2)
=4a^2*[9a^2*c^2+4a^4-17a^2*c^2+4c^4]
=16a^2*(a^2-c^2)^2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由向量AF=2向量FB,得
-c-x1=2(x2+c),
x1+2x2=-3c,
[-18a^2*c土√△]/[2(4a^2-c^2)]=-3c,
-18a^2*c土4a(a^2-c^2)=-6c(4a^2-c^2),
土4a(a^2-c^2)=-6a^2*c+6c^3=6c(c^2-a^2),
∴c/a=2/3,为所求.
(2)a=3c/2,
|AB|=2√△/(4a^2-c^2)
=8a(a^2-c^2)/(4a^2-c^2)
=15c^3/(8c^2)
=15c/8=15/4,
∴c=2,a=3,b^2=5,
∴椭圆C的方程是x^2/9+y^2/5=1.