如图,在梯形ABCD中,点E、F分别是AB、AC的中点,像EF这样,我们把连接梯形俩腰中点的线段叫做梯形的中位线.你能发现梯形中位线有什么性质?证明你的结论.（辅助线已给给出,用两种方法证明）

如图,在梯形ABCD中,点E、F分别是AB、AC的中点,像EF这样,我们把连接梯形俩腰中点的线段叫做梯形的中位线.你能发现梯形中位线有什么性质?证明你的结论.（辅助线已给给出,用两种方法证明）
如图,在梯形ABCD中,点E、F分别是AB、AC的中点,像EF这样,我们把连接梯形俩腰中点的线段叫做梯形的中位线.你能发现梯形中位线有什么性质?证明你的结论.（辅助线已给给出,用两种方法证明）

如图,在梯形ABCD中,点E、F分别是AB、AC的中点,像EF这样,我们把连接梯形俩腰中点的线段叫做梯形的中位线.你能发现梯形中位线有什么性质?证明你的结论.（辅助线已给给出,用两种方法证明）
（1）证明：如图1,连接AF并延长交BC的延长线于点G,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠GCF,
∵F是CD的中点,
∴DF=FC,
在△ADF与△GCF中,
{∠D=∠GCFDF=FC∠DFA=∠CFG(对顶角相等),
∴△ADF≌△GCF（ASA）,
∴AF=FG,AD=CG,
∴EF∥BC,且EF=12BG,
∵BG=BC+CG,
∴EF=12（AD+BC）,
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；
（2）如图2,过点A作AH∥CD交EF于点G,交BC于点H,
∵AD∥BC,
∴GF=CH=AD,
∵AEEB=13,
∴EGBH=AEAB=14,
∴EG=BH4,
∴EF=EG+GF=BH4+AD,
∵AD=3,BC=5,
∴EF=5-34+3=3.5；
（3）如图3,过点A作AH∥CD交EF于点G,交BC于点H,
∵AD∥BC,
∴GF=CH=AD,
∵AEEB=mn,
∴EGBH=AEAB=mm+n,
∴EG=mm+nBH,
∴EF=EG+GF=mm+nBH+AD,
∵AD=a,BC=b,
∴EF=mm+n×（b-a）+a=mb+nam+n．