整式运算

整式运算
整式运算

整式运算
单项式和多项式统称为整式.
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式.
整式可以分为定义和运算,定义又可以分为单项式和多项式,运算又可以分为加减和乘除.
加减包括合并同类项,乘除包括基本运算、法则和公式,基本运算又可以分为幂的运算性质,法则可以分为整式、除法,公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂.
整式和同类项
1.单项式
（1）单项式的概念：数与字母的积这样的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也是单项式.
注意：数与字母之间是乘积关系.
（2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数.
如果一个单项式,只含有字母因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为—1.
（3）单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式
（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式.多项式中的符号,看作各项的性质符号.
（2）多项式的次数：多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
（3）多项式的排列：
1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
由于多项式是几个单项式的和,所以可以用加法的运算定律,来交换各项的位置,而保持原多项式的值不变.
为了便于多项式的计算,通常总是把一个多项式,按照一定的顺序,整理成整洁简单的形式,这就是多项式的排列.
在做多项式的排列的题时注意：
(1)由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动.
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意：
a.先确认按照哪个字母的指数来排列.
b.确定按这个字母向里排列,还是生里排列.
(3)整式：
单项式和多项式统称为整式.
(4)同类项的概念：
所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也叫同类项.
掌握同类项的概念时注意：
1.判断几个单项式或项,是否是同类项,就要掌握两个条件：
①所含字母相同.
②相同字母的次数也相同.
2.同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关.
3.几个常数项也是同类项.
（5）合并同类项：
1.合并同类项的概念：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
2.合并同类项的法则：
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.
3.合并同类项步骤：
⑴．准确的找出同类项.
⑵．逆用分配律,把同类项的系数加在一起（用小括号）,字母和字母的指数不变.
⑶．写出合并后的结果.
在掌握合并同类项时注意：
1.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
2.不要漏掉不能合并的项.
3.只要不再有同类项,就是结果（可能是单项式,也可能是多项式）.
合并同类项的关键：正确判断同类项.
整式和整式的乘法
整式可以分为定义和运算,定义又可以分为单项式和多项式,运算又可以分为加减和乘除.
加减包括合并同类项,乘除包括基本运算、法则和公式,基本运算又可以分为幂的运算性质,法则可以分为整式、除法,公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂.
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,底数不变指数相加.
幂的乘方法则：幂的乘方,底数不变,指数相乘.
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.
完全平方公式：两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍. 两数差的平方,等于这两数的平方和,减去这两积的2倍.
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
谈整式学习的要点
屠新民
整式是代数式中最基本的式子,引进整式是实际的需要,也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要.整式是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式、一元一次方程及不等式的基础上引进的.事实上,整式的有关内容在六年级已经学习过,但现在的整式内容比过去更加强了应用,增加了实际应用的背景.
本章知识结构框图：
本章有较多的知识点属于重点或难点,既是重点又是难点的内容为如下三个方面.
一、整式的四则运算
1. 整式的加减
合并同类项是重点,也是难点.合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准��字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变.
2. 整式的乘除
重点是整式的乘除,尤其是其中的乘法公式.乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义,学生不易掌握.因此,乘法公式的灵活运用是难点,添括号（或去括号）时,括号中符号的处理是另一个难点.添括号（或去括号）是对多项式的变形,要根据添括号（或去括号）的法则进行.在整式的乘除中,单项式的乘除是关键,这是因为,一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除.
整式四则运算的主要题型有：
（1）单项式的四则运算
此类题目多以选择题和应用题的形式出现,其特点是考查单项式的四则运算.
（2）单项式与多项式的运算
此类题目多以解答题的形式出现,技巧性强,其特点为考查单项式与多项式的四则运算.
二、因式分解
难点是因式分解的四种基本方法(提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法）.因式分解是整式乘法的逆向变形,因式分解的方法的引入要紧紧抓住这一点.
多项式 polynomial
若干个单项式的和组成的式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）.多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.如一式中：最高项的次数为5,此式有3个单项式组成,则称其为：五次三项式.
比较广义的定义,1个或0个单项式的和也算多项式.按这个定义,多项式就是整式.实际上,还没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起的定理：0作为多项式时,次数为负无穷大.
编辑本段多项式历史
多项式的研究,源于“代数方程求解”, 是最古老数学问题之一.有些代数方程,如x+1=0,在负数被接受前,被认为是无解的.另一些多项式,如f(x)=x² + 1,是没有任何根的——严格来说,是没有任何实数根.若我们容许复数,则实数多项式或复数多项式都是有根的,这就是代数基本定理.
能否用根式求解的方法,表达出多项式的根,曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题.一元二次多项式的根相对容易.三次多项式的根需要引入复数来表示,即使是实数多项式的实数根.四次多项式的情况也是如此.经过多年,数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法,终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在,震撼数坛.数年后,伽罗华引入了群的概念,证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法,其理论被引申为伽罗瓦理论.伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能.另一个难题化圆为方的不可能证明,亦与多项式有关,证明的中心是圆周率乃一个超越数,即它不是有理数多项式的根.
编辑本段多项式函数及多项式的根
给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A.对 (a1...an)∈An,我们把 f 中的 xj 都换成 aj,得出一个 A 中的元素,记作 f(a1...an).如此, f 可看作一个由 An 到 A 的函数.
若然 f(a1...an)=0,则 (a1...an) 称作 f 的根或零点.
例如 f=x2+1.若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵,则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!
例如 f=x-y.若然考虑 x 是实数或复数,则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合,是一个代数曲线.事实上所有代数曲线由此而来.
编辑本段代数基本定理
代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根.
编辑本段多项式的几何特性
多项式是简单的连续函数,它是平滑的,它的微分也必定是多项式.
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数,此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限.
编辑本段任意环上的多项式
多项式可以推广到系数在任意一个环的情形,请参阅条目多项式环.
运算顺序
先乘除,
后加减.
诺有括号,
最先做.
同级运算,
从左到右.
掌握运算顺序
不忙活!
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也作分解因式.
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础；学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.
分解因式与整式乘法互为逆变形.
编辑本段因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法,剩余定理法等.
编辑本段基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)．
⑵运用公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法.
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
其余公式请参看上边的图片.
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(参看右图)．
编辑本段初中应掌握的方法
⑶分组分解法
⑷拆项、补项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
也可以参看右图.
⑸配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
也可以参看右图.
⑹十字相乘法
这种方法有两种情况.
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
·a b
· ×
·c d
例如：因为
·1 -3
· ×
·7 2
且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中
多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要合适.”
几道例题
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
也可以参看右图.
2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的过程也可以参看右图.）
当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.
3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.
证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0,
即a＝c,△ABC为等腰三角形.
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式.
-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
也可以参看右图.
编辑本段竞赛用到的方法
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式.(事实上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
⑻换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法.
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时,可以令y=x^2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以参看右图.
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6时,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
⑿特殊值法
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.
⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4．
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以参看右图.
⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.用一道例题来说明如何使用.
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.

x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错.