在△ABC中,∠BAC=90°.∠ACD是等边三角形.连接BD若∠DBC=2∠DBA.求∠DBA
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 15:10:32
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在△ABC中,∠BAC=90°.∠ACD是等边三角形.连接BD若∠DBC=2∠DBA.求∠DBA
在△ABC中,∠BAC=90°.∠ACD是等边三角形.连接BD若∠DBC=2∠DBA.求∠DBA
在△ABC中,∠BAC=90°.∠ACD是等边三角形.连接BD若∠DBC=2∠DBA.求∠DBA
证明:
如图,以AB为一边,向下作一个等边三角形△ABE
连接ED,EC,EC交BD于F点
∵∠BAC=90° ∠CAD=∠BAE=60°
∴∠CAE=∠DAB=∠DAE=150°
△DAB 与△DAE中
DA=DA ∠DAB=∠DAE AB=AE
∴△DAB ≌△DAE
△DAB 与△CAE中
DA=CA ∠DAB=∠CAE AB=AE
∴△DAB ≌△CAE
∴有△DAB ≌△DAE≌△CAE
∴∠AED=∠CEA=∠ABD ∠ADB=∠ACE
又∵∠DBC=2∠ABD
∴有∠DBC=∠CED
∴B,E,D,C四点共圆
∴有∠EBD=∠ECD …………(见备注)
又∵∠EBD=∠EBA+∠ABD =60°+∠ABD
∠ECD=∠ACD+∠ACE=60°+∠ACE
∴∠ABD =∠ACE
又∵∠ADB=∠ACE
∴∠ABD=∠ADB
∵∠BAD=150°
∴∠ABD=∠ADB=15° □ By euler27
备注:
若没有学习过四点共圆知识,∠EBD=∠ECD 还可以如下推出
∵∠DBC=∠CED 又∵∠BFC=∠EFD
∴△BFC∽△EFD
∴有BF:EF=CF:DF 又∵∠BFE=∠CFD
∴△BFE∽△CFD
∴∠EBD=∠ECD