已知圆C:X^2+Y^2-4X+6Y+4=0和直线L:X-Y+5=0,求直线L上到圆C距离最小的点的坐标,并求最小距离

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 16:13:16
已知圆C:X^2+Y^2-4X+6Y+4=0和直线L:X-Y+5=0,求直线L上到圆C距离最小的点的坐标,并求最小距离
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已知圆C:X^2+Y^2-4X+6Y+4=0和直线L:X-Y+5=0,求直线L上到圆C距离最小的点的坐标,并求最小距离
已知圆C:X^2+Y^2-4X+6Y+4=0和直线L:X-Y+5=0,求直线L上到圆C距离最小的点的坐标,并求最小距离

已知圆C:X^2+Y^2-4X+6Y+4=0和直线L:X-Y+5=0,求直线L上到圆C距离最小的点的坐标,并求最小距离
圆C:(x-2)^2+(y+3)^2=9,圆心(2,-3),半径3.
过点(2,-3)与直线L垂直的直线方程为:y+3=-(x-2).
两直线交点(-3,2)即为所求的点,最小距离为✓[(2+3)^2+(-3-2)^2]-3=5✓2-3.

郭敦顒回答：

将圆C:x^2+y^2－4x+6y+4=0写为圆的标准方程：

（x－2）^2+（y+3）^2=3^2，圆心C点坐标为C（2，－3），半径为3，

直线L：x－y+5=0，即y=x+5，斜率k=1

作CA⊥L于A，交圆C于B，则AB长为直线L上到圆C距离的最小距离

CA的斜率k1=－1/k=－1

CA的直线方程按点斜式有：y+3=－1×（x－2），y=－x－1

y=－x－1与y=x+5联立得，x+5=－x－1，2x=－6，x=－3，y=x+5=2，

A点坐标为A（－3，2）；

y=－x－1代入（x－2）^2+（y+3）^2=3^2得，

（x－2）^2+（－x－1+3）^2=9，

（x－2）^2+（－x+2）^2=9

2（x－2）^2=9，x－2=±（3/2）√2，x=2－（3/2）√2（另一根舍去），

y=－x－1=－[2－（3/2）√2] －1=－3+（3/2）√2，

B点坐标为B（2－（3/2）√2，－3+（3/2）√2）。

AB=√{[－3－2+（3/2）√2] 2+[2+3－（3/2）√2] 2}=4.071，

AB=4.071。

（图中，圆的图形未绘出）

                                  Y


 

   

 



                                  L：x－y+5=0

 

 

 

 

              

                     A（－3，2）

 

 

                              O                          X    


 

   

 



                                 B（2－（3/2）√2，－3+（3/2）√2）

 

 

                                        C（2，－3）

 

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