作业帮证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 09:55:29
证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
证明：数学归纳法
N=1时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
设N=k时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
则当N=k+1时,9的8（k+1）+4次方-7的8(k+1)+4次方=9^(8(k+1)+4)-7^(8(k+1)+4)=9^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*9^8+7^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*7^8=(9^(8k+4)-7^(8k+4))*9^8+7^(8k+4)*(9^8-7^8)
此式第一项由归纳法假设可知,它可被20整除,后一项（9^8-7^8）=37281920是20的倍数,所以该式可被20整除.
只要证明该式既能被4整除，也能被5整除即可。
对于任意自然数n,:
9^(8n+4) -7^(8n+4) )mod 4 = (1^(8n+4) - (-1)^(8n+4)) mod 4 = 0
所以该式能被4整除
9^(8n+4) -7^(8n+4) )mod 5 = ( (-1)^(8n+4) - 2^(8n+4)) mod 5
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只要证明该式既能被4整除，也能被5整除即可。
对于任意自然数n,:
9^(8n+4) -7^(8n+4) )mod 4 = (1^(8n+4) - (-1)^(8n+4)) mod 4 = 0
所以该式能被4整除
9^(8n+4) -7^(8n+4) )mod 5 = ( (-1)^(8n+4) - 2^(8n+4)) mod 5
=( 1 - 16^(2n+1))mod 5
= (1 - 1^(2n+1))mod5 = 0
所以该式能被5整除
综上，4与5没有公约数，因此该式能被4和5的最小公倍数20整除
mod 表示余数操作， ^表示幂
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