作业帮求一个最小的自然数,乘2是一个完全平方数,乘3是一个完全立方数,乘5是一个完全五次方数.要详细说出理由.0除外，要详细说出理由。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 11:22:32
求一个最小的自然数,乘2是一个完全平方数,乘3是一个完全立方数,乘5是一个完全五次方数.要详细说出理由.0除外，要详细说出理由。
求一个最小的自然数,乘2是一个完全平方数,乘3是一个完全立方数,乘5是一个完全五次方数.
要详细说出理由.
0除外，要详细说出理由。
求一个最小的自然数,乘2是一个完全平方数,乘3是一个完全立方数,乘5是一个完全五次方数.要详细说出理由.0除外，要详细说出理由。
呵呵0除外.
首先,这个数含有因数2,3,5
乘2是个完全平方数,那么3和5的幂数一定是2的倍数,且2的幂数为奇数
乘3是个完全立方数,那么2和5的幂数一定是3的倍数,且3的幂数为3的倍数减1
乘5是个完全5次方数,那么2和3的幂数一定是5的倍数,且5的幂数为5的倍数减1
综合一下,
2的幂数是3和5的倍数,且为奇数,最小为15
3的幂数为2和5的倍数,且为3的倍数减1,最小为20
5的幂数为2和3的倍数,且为5的倍数减1,最小为24
所以所求最小的自然数为：
2^15*3^20*5^24
2*（2*完全平方数）＝完全平方数
3*（3*3*完全立方数）＝完全立方数
5*（5*5*5*5*完全5次方数）＝完全5次方数。
所以这个数是2的15次方*3的20次方*5的24次方。
设这个数为X.
则2X=a^2
3X=b^3
5X=c^5
为了使X最小
所以我们可以先给X加一个质因数2(因为2*2=4 是一个平方数)
接着 我们可以给X再加2个3 但是第1个条件就无法满足
所以 我们用3个2(2*2*2*2*3*3是一个平方数 而2*2*2*3*3*3也一定是一个3次方数)
最后 还需要24个5 此时还需要...
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设这个数为X.
则2X=a^2
3X=b^3
5X=c^5
为了使X最小
所以我们可以先给X加一个质因数2(因为2*2=4 是一个平方数)
接着 我们可以给X再加2个3 但是第1个条件就无法满足
所以 我们用3个2(2*2*2*2*3*3是一个平方数 而2*2*2*3*3*3也一定是一个3次方数)
最后 还需要24个5 此时还需要找到满足的2的个数(只有3*5=15)
和3的个数(只有20)
所以 此数为5^24*2^15*3^20=357046722662400000
仅供参考
收起
设X=2^a*3^b*5^c,则
2X=2^(a+1)*3^b*5^c,
3X=2^a*3^(b+1)*5^c,
5X=2^a*3^b*5^(c+1),
2X是完全平方数,当且仅当a+1,b,c是偶数,即a+1,b,c能被2整除
3X是完全立方数,当且仅当a,b+1,c能被3整除,
5X是完全五次方数,当且仅当a,b,c+1能被5整除,
故a...
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设X=2^a*3^b*5^c,则
2X=2^(a+1)*3^b*5^c,
3X=2^a*3^(b+1)*5^c,
5X=2^a*3^b*5^(c+1),
2X是完全平方数,当且仅当a+1,b,c是偶数,即a+1,b,c能被2整除
3X是完全立方数,当且仅当a,b+1,c能被3整除,
5X是完全五次方数,当且仅当a,b,c+1能被5整除,
故a能被3,5整除,但被2除余1,满足条件最小的a=15,
b能被2,5整除,但被3除余2,满足条件最小的b=20,
c能被2,3整除,但被5除余4,满足条件最小的c=24,故
X=2^15*3^20*5^24
收起