如图所示,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,若∠DOC＝90°.求证：DC是⊙O的切线

如图所示,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,若∠DOC＝90°.求证：DC是⊙O的切线
如图所示,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,若∠DOC＝90°.求证：DC是⊙O的切线

如图所示,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,若∠DOC＝90°.求证：DC是⊙O的切线
证明：
延长CO交DA延长线于E
∵AD⊥AB,BC⊥AB
∴∠EAO=∠CBO=90º
又∵AO=BO,∠AOE=∠BOC
∴⊿AOE≌⊿BOC（ASA）
∴OE=OC
∵∠DOC=90º
∴OD垂直平分CE
∴DE=DC
∴∠EDO=∠CDO【三线合一】
作OF⊥CD于F
则OF=OA=半径【角平分线上的点到角两边的距离相等】
∴DC是圆O的切线【垂直于半径外端的直线是圆的切线】

因为∠AED=∠BCE，∠DAE=∠EBC=90度 所以△DAE∽△EBC 所以DA/EB=DE/EC
而EB=EA=r 所以DA/EA=DE/EC 又∠DAE=∠DEC=90度 所以△DAE∽△DEC
所以∠ADE=∠CDE 而AE是⊙E的切线 所以CD也是⊙E的切线(这个地方也可以用距离来说...

全部展开

因为∠AED=∠BCE，∠DAE=∠EBC=90度 所以△DAE∽△EBC 所以DA/EB=DE/EC
而EB=EA=r 所以DA/EA=DE/EC 又∠DAE=∠DEC=90度 所以△DAE∽△DEC
所以∠ADE=∠CDE 而AE是⊙E的切线 所以CD也是⊙E的切线(这个地方也可以用距离来说，过E做DC的垂线，垂足为F，则有Rt△DAE≌Rt△DFE，所以EF=AE=r，所以CD也是⊙E的切线)

收起