设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O
设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O
设A点坐标为(yA^2/(2p),yA)、B点坐标为(yB^2/(2p),yB),
首先证明yA*yB=-p^2：
设过AB的直线(过焦点(p/2,0))所在方程为y=k(x-p/2)（先假设它不垂直于x轴）,联立抛物线方程y^2=2px,消去x,得y^2-(2p/k)*y-p^2=0(显然k≠0,否则直线与抛物线仅一个交点),此方程的两根分别是yA、yB,所以有yA*yB=-p^2成立；若AB垂直于x轴,则A、B坐标分别为(p,p/2)、(-p,p/2),yA*yB=-p^2也成立.
然后就好做了：
C点坐标(-p/2,yB),AC所在直线方程：y-yB={[yA-yB]/[yA^2/(2p)+p/2]}(x+p/2),原点O坐标(0,0)代入方程,利用yA*yB=-p^2,发现等式成立,说明直线AC经过原点O.