作业帮求西姆松线及欧拉线的证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 03:38:08
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求西姆松线及欧拉线的证明
求西姆松线及欧拉线的证明
求西姆松线及欧拉线的证明
西姆松：
如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于
BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、L、P、N和
P、M、C、 L分别四点共圆,有
∠NBP = ∠NLP
= ∠MLP= ∠MCP.
故A、B、P、C四点共圆.
若A、P、B、C四点共圆,则
∠NBP= ∠MCP.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,
有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有
∠NBP = ∠NLP
= ∠MCP
= ∠MLP.
故L、M、N三点共线.
欧拉线
设△ABC的垂心、重心、外心分别为H,G,O,
三心共线则向量OH=向量OA+向
量OB+向量OC
而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3,
向量OH=3向量OG
所以O、G、H三点共线,且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半.