证明极限 n→∞ lim(1+1/1*2)(1+1/2*3)……{1+1/n(n+1)} 存在

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/28 15:54:02
证明极限 n→∞ lim(1+1/1*2)(1+1/2*3)……{1+1/n(n+1)} 存在
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证明极限 n→∞ lim(1+1/1*2)(1+1/2*3)……{1+1/n(n+1)} 存在
证明极限 n→∞ lim(1+1/1*2)(1+1/2*3)……{1+1/n(n+1)} 存在

证明极限 n→∞ lim(1+1/1*2)(1+1/2*3)……{1+1/n(n+1)} 存在
显然 数列 ∏(1 + 1/ k*(k+1) ) 是单调递增的
只需证明其有上界
取对数得 ∑ ln(1+ 1/ k*(k+1)) < ∑ 1/ k*(k+1) = 1 - 1/(k+1) < 1
【 ln(1+x) < x ,证明略 】
故 ∏(1 + 1/ k*(k+1) ) < e
因此原极限存在

lim 1/(n(n+1))=0
n→∞

最后一项:
(1+0)=1

所以有极限