高等数学一道很基础的证明题若函数f(x)在(a,b)内具有二阶函数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:48:43
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高等数学一道很基础的证明题若函数f(x)在(a,b)内具有二阶函数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a
高等数学一道很基础的证明题
若函数f(x)在(a,b)内具有二阶函数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a
高等数学一道很基础的证明题若函数f(x)在(a,b)内具有二阶函数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a
由条件可知,函数f(x)在闭区间[x1,x2]上连续,在开区间(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2),f(x)满足罗尔定理的三个条件,于是由罗尔微分中值定理,至少存在一点ξ1∈(x1,x2),使得f'(ξ1)=0.同理在(x2,x3)内也至少存在一点ξ2∈(x2,x3),使得f'(ξ2)=0.
因为函数f(x)二阶可导,所以一阶导函数f'(x)在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,且满足
f'(ξ1)=f'(ξ2)=0.对函数f'(x)在区间[ξ1,ξ2]上利用一次罗尔定理可知,至少存在一点p∈(ξ1,ξ2),使得
f''(p)=0.因为(ξ1,ξ2)是(x1,x3)的一个子区间,p自然也在(x1,x3)内.
由题意,可知f(x)连续,且一阶导数连续,可导.因为f(x1)=f(x2)=f(x3),
那么由罗尔定理,在(x1,x2)内存在m,使得 f(m)一阶导数=0 在(x2,x3)内存在n 使得
f(n)的一阶导数=0 进一步利用罗尔定理,在(m,n)存在 p 使得f(p)的二阶导数=0
(m,n)包含于(x1,x3) 故,在(x1,x3)内至少有一点p,使得f(...
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由题意,可知f(x)连续,且一阶导数连续,可导.因为f(x1)=f(x2)=f(x3),
那么由罗尔定理,在(x1,x2)内存在m,使得 f(m)一阶导数=0 在(x2,x3)内存在n 使得
f(n)的一阶导数=0 进一步利用罗尔定理,在(m,n)存在 p 使得f(p)的二阶导数=0
(m,n)包含于(x1,x3) 故,在(x1,x3)内至少有一点p,使得f(p)的二阶导数=0。
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