作业帮过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,O为原点,当|OA|＋|OB|最小时,求直线l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 13:48:30
过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,O为原点,当|OA|＋|OB|最小时,求直线l的方程
过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,O为原点,当|OA|＋|OB|最小时,求直线l的方程
过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,O为原点,当|OA|＋|OB|最小时,求直线l的方程
设OA=a,OB=b
直线方程为x/a+y/b=1
P点在直线上,
所以4/a+3/b=1
|OA|＋|OB|=a+b=1*（a+b）=（4/a+3/b）*（a+b）=4+4b/a+3a/b+3≥7+2√7
当且仅当4b/a=3a/b,即3a²=4b²,b=（√3/2）a时取得,
此时tan∠BAO=b/a=√3/2,直线斜率为-√3/2
所以直线方程的点斜式为y-3=-√3/2（x-4）
易知，该直线斜率存在
设直线方程y=k(x-4)+3
即y=kx-4k+3
令y=0 kx=4k-3 x=4-3/k>0(正半轴） |OA|=4-3/k且3/k<4
令x=0 y=-4k+3>0(正半轴） |OB|=-4k+3且k<3/4
易得k<0
|OA|＋|OB|=4-3/k-4k+3=7-4k-3/k=7+4*（-k)+3/(-k)
...
全部展开
易知，该直线斜率存在
设直线方程y=k(x-4)+3
即y=kx-4k+3
令y=0 kx=4k-3 x=4-3/k>0(正半轴） |OA|=4-3/k且3/k<4
令x=0 y=-4k+3>0(正半轴） |OB|=-4k+3且k<3/4
易得k<0
|OA|＋|OB|=4-3/k-4k+3=7-4k-3/k=7+4*（-k)+3/(-k)
当且仅当4*(-k)=3/(-k)时，上式有最小值
即(-k)^2=3/4
得k=- 根号3/2
此时直线方程
y=(-根号3/2)x-2（根号3）+3
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楼上注意条件，要求交于正半轴
收起
|OA|＋|OB|>=0
所以最小值就是0
也就是说A、B两点与O点3点合在一起
即直线l过原点
则直线L为y=3x/4