设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数(即随着x的增大,相应的f(x)也随着增
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 10:21:59
![设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数(即随着x的增大,相应的f(x)也随着增](/uploads/image/z/10217320-16-0.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8Fx%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%E6%98%AFa%E2%89%A4x%E2%89%A4b.%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E8%BF%99%E4%B8%AA%E8%8C%83%E5%9B%B4%E5%86%85%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8F%E7%9A%84%E5%80%BCx1%2Cx2%2C%E5%BD%93x1%EF%BC%9Cx2%E6%97%B6%2C%E9%83%BD%E6%9C%89f%28x1%29%EF%BC%9Cf%28x2%29%2C%E9%82%A3%E4%B9%88%E5%B0%B1%E8%AF%B4%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8a%E2%89%A4x%E2%89%A4b%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%88%E5%8D%B3%E9%9A%8F%E7%9D%80x%E7%9A%84%E5%A2%9E%E5%A4%A7%2C%E7%9B%B8%E5%BA%94%E7%9A%84f%28x%29%E4%B9%9F%E9%9A%8F%E7%9D%80%E5%A2%9E)
设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数(即随着x的增大,相应的f(x)也随着增
设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数(即随着x的增大,相应的f(x)也随着增大).
(1)根据上面这一定义,试证明函数f(x)=x的平方+x分之1 在x≥1上是增函数
(2)试求函数f(x)=x的平方+x分之1 在1≤x≤8 的最小值和最大值
很着急速求!
设函数f(x)的自变量x的取值范围是a≤x≤b.如果对于这个范围内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在a≤x≤b上是增函数(即随着x的增大,相应的f(x)也随着增
(1)在x≥1上,对于任何x1<x2:
f(x2)=X2^2+1/X2,
f(x1)=X1^2+1/X1
f(X2)-f(X1)=X2^2+1/X2-(X1^2+1/X1)=X2^2-X1^2+1/X2-1/X1=X2^2-X1^2-(X2-X1)/X2*X1=
(X2-X1)(X2+X1)-(X2-X1)/X2*X1=(X2-X1)(X2+X1-1/(X1*X2))=(X2-X1)(X1+X2)(X1*X2-1)/(X1*X2)
由于x1<x2和任何Xx≥1,故(X2-X1)>0和X1*X2-1≥0,
故f(X2)-f(X1)≥0,即f(X2)>f(X1),这就按题意证明了函数f(x)=x的平方+x分之1 在x≥1上是增函数.
(2)根据已经证明的命题,该函数在1≤x≤8是增函数,故其最小值是f(1)=1+1=2,其最大值是f(8)=8^2+1/8=64.125.
(第一个小问题若可用导数的方法的话应该可简单一点)