作业帮设双曲线x²/16-y²/9=1上有一点P,F1、F2为两焦点,若角F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 13:54:14
设双曲线x²/16-y²/9=1上有一点P,F1、F2为两焦点,若角F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
设双曲线x²/16-y²/9=1上有一点P,F1、F2为两焦点,若角F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
设双曲线x²/16-y²/9=1上有一点P,F1、F2为两焦点,若角F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
^2是平方
双曲线中,a=√16=4,b=√9=3,则f=√(a^2+b^2)=√(4^2+3^2)=5
则|PF1-PF2|=2a=2*4=8,F1F2=2f=2*5=10
不妨设F1是左焦点,不妨再设PF1>PF2
若不然可以作P关于y轴的对称点P’
则P'也在双曲线上,且由PF1F2P'为等腰梯形（P、P和'F1、F2都关于y轴对称）
得P、F1、F2、P'四点共圆,有∠F1P'F2=∠F1PF2=60°,就有P‘F1>P’F2
所以可以设PF1>PF2
则PF1-PF2=8,设PF2=x,则PF1=8+x
在△PF1F2中由余弦定理,F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2cos∠F1PF2
即10^2=(8+x)^2+x^2-2*(8+x)*x*cos60°
得x^2+8x=36
过F1作F1H⊥PF2交PF2于H
则S△F1PF2=F1H*PF2/2=PF1*sin∠F1PF2*PF2/2=(8+x)*sin60°*x/2
=(x^2+8x)*√3/4=36*√3/4=9√3
这里有一个面积公式可以用 要方便得多
S=(b^2)cot(角/2) b是双曲线的虚半轴长 角是F1PF2
如果用这个公式S=9*cot30°=9√3
这里有个公式给你：
若半虚轴长为b，∠F1PF2=a，则△F1PF2面积=b²/tan(a/2)
因此本题答案是：9/tan30°=9√3