用放缩法证明1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²<2(n∈N+)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 12:35:37
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用放缩法证明1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²<2(n∈N+)
用放缩法证明1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²<2(n∈N+)
用放缩法证明1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²<2(n∈N+)
1/2²<1/(1*1/2)=1-1/2
1/3²<1/(1/2*1/3)=1/2-1/3
1/n²<1/[(n-1)*1/n]=1/(n-1)-1/n
1/2²+1/3²+…+1/n²<1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n=1-1/n
1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²<1+1-1/n<2
①当n=1是,1<2成立
②当n=2,3,4,……
因为1/n(n-1)>1/n^2
所以原式<1+1/2*1+1/3*2+……+1/(n-1)n
即 原式<1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n
即原式<1+1-1/n
所以原式<2-1/n<2
故原式<2
由①,②可证
利用级数求解