如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN取最小值时,CN= ▲

如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN取最小值时,CN= ▲
如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN
取最小值时,CN= ▲

如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN取最小值时,CN= ▲
易证△AOM≌△CON则AM=CN=x
设CN=x,经过点N作NE⊥AB
则四边形NEBC为矩形
∴NE=BC=1,BE=CN=x
则ME=(1-x)-x=1-2x(或2x-1)
∴MN²=EM²＋EN²=2-4x+4x²
BN²=BC²＋CN²=1+x²
令2-4x+4x²=t(1+x²),整理
﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有实根
∴16-4（t-4）（t-2）≧0
解得：3-√5≦t≦3+√5
∴当 MN/BN取最小值时,
即t取最小值3-√5,x=-4/2(t-4)=(√5－1)/2
即CN=(√5－1)/2

作图可知，∵MN过正方形中心O，∴ CN=AM，(MN) ^2=(1－2CN) ^2＋1，
(BN) ^2=(CN) ^2＋1，MN/BN 取最小值时，
(MN/BN) ^2=[(1－2CN) ^2＋1]/[ (CN) ^2＋1] =4－2(1＋2CN)/ [ (CN) ^2＋1]亦取最小值，
即 (1＋2CN)/ [ (CN) ^2＋1] =4/[(1＋2CN)＋5/(1...

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作图可知，∵MN过正方形中心O，∴ CN=AM，(MN) ^2=(1－2CN) ^2＋1，
(BN) ^2=(CN) ^2＋1，MN/BN 取最小值时，
(MN/BN) ^2=[(1－2CN) ^2＋1]/[ (CN) ^2＋1] =4－2(1＋2CN)/ [ (CN) ^2＋1]亦取最小值，
即 (1＋2CN)/ [ (CN) ^2＋1] =4/[(1＋2CN)＋5/(1＋2CN)－2] ≤4/(√5－2)
当且仅当(1＋2CN) =5/(1＋2CN) 即CN=(√5－1)/2
即当 MN/BN 取最小值时，CN=(√5－1)/2

收起

1/2,c与b重合