作业帮高三文数一道导数题设a为实数,函数f(x)=x^3+ax²+x+1 a∈R（1）求f(x)的单调区间我想问,求导之后的f'(x)是一个二次函数,应该令f'(x)=0 算出极值点再划分区间可是答案上求导之后第一步就是分类
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 23:47:53
高三文数一道导数题设a为实数,函数f(x)=x^3+ax²+x+1 a∈R（1）求f(x)的单调区间我想问,求导之后的f'(x)是一个二次函数,应该令f'(x)=0 算出极值点再划分区间可是答案上求导之后第一步就是分类
高三文数一道导数题
设a为实数,函数f(x)=x^3+ax²+x+1 a∈R
（1）求f(x)的单调区间
我想问,求导之后的f'(x)是一个二次函数,应该令f'(x)=0 算出极值点再划分区间
可是答案上求导之后第一步就是分类讨论,分为：△≤0；和△＞0的情况,这里我实在看不懂是什么意思,
高三文数一道导数题设a为实数,函数f(x)=x^3+ax²+x+1 a∈R（1）求f(x)的单调区间我想问,求导之后的f'(x)是一个二次函数,应该令f'(x)=0 算出极值点再划分区间可是答案上求导之后第一步就是分类
△≤0
f'(x)开口向上
所以f'(x)≥0
这样就是在R上的增函数
而△＞0
则f'(x)=0有两根
此时导数有正有负
这样就增区间和减区间都有,这才需要区分f'(x)的符号来讨论
其实是和你一个意思啊。，你直接算的话，因为公式里面还有a这个未知数，得出的结果是不定的，你不知道会有几个解，而答案中计算△并进行分类就是先将公式分为几种情况，得到不同的a的取值范围，然后在定f'(x)=0有几个解，从而就出单调区间
是应该求导,但是要注意f'(x)不一定会有0点,所以要分成△≤0；和△＞0的情况,
△≤0时,没有0解,f(x)在全区间单调
△＞0时,f(X)可以按你的原方法求解
f'(x) = 3x^2 + 2ax + 1 = 3(x + a/3)^2 + 1 - a^2 /3
1 - a^2 / 3 >= 0 ==> f'(x) >= 0 f(x)的单调increase区间 = (-infinity, +infinity)
1 - a^2 /3 < 0 ==> f(x)的单调decrease区间 = (-a/3-(a^2 /9-1/3)^(1/2), -a/3,+(a^2 /9-1/3)^(1/2))
other 区间, 单调increase.
f'(x)=0是一个二次方程，要先看有没有解，如果没有解或一个解，即：△≤0。则全定义域上增函数。若有两个解，即△＞0，则两个解之间的区间为单调减区间，其它两个区间分别为单调递增区间。
f'(x)=3x²+2ax+1
当△≤0时即为-√3≤a≤√3时f'(x)恒大于等于零
此时f(x)=x³+ax²+x+1在x∈R上是一个增函数
当△＞0时即为a＜-√3或a＞√3时
f'(x)=3x²+2ax+1=0存在不相等的两个实数根
设这两个根分别为x1、x2且x1
全部展开
f'(x)=3x²+2ax+1
当△≤0时即为-√3≤a≤√3时f'(x)恒大于等于零
此时f(x)=x³+ax²+x+1在x∈R上是一个增函数
当△＞0时即为a＜-√3或a＞√3时
f'(x)=3x²+2ax+1=0存在不相等的两个实数根
设这两个根分别为x1、x2且x1
f(x)单调递减区间为[x1,x2]
同理可得
f(x)单调递增区间为(－∞,x1)∪(x2,＋∞)
收起
嗯···因为如果△≤0, 那求导后的二次函数是恒大于0的，也就是说~无法令f'(x)=0 原函数也有可能是单调函数呀~
如果按照你的做法 那个二次函数中 求导后存在不定量a 举个例子 如果a=0 那么f'(x)＞0恒成立
原函数就是单调增函数了
关键就在于要先讨论a的取值范围，在不同情况下，原函数的单调区间是不同的...
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嗯···因为如果△≤0, 那求导后的二次函数是恒大于0的，也就是说~无法令f'(x)=0 原函数也有可能是单调函数呀~
如果按照你的做法 那个二次函数中 求导后存在不定量a 举个例子 如果a=0 那么f'(x)＞0恒成立
原函数就是单调增函数了
关键就在于要先讨论a的取值范围，在不同情况下，原函数的单调区间是不同的
收起