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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/01 20:59:09
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任何数A,都可以写成e^[ln(A)],这很好理解,对数运算和幂运算抵消,结果还是A
所以,对x^x也做这样的变换：
x^x = e^[ln(x^x)]
=e^[x(lnx)]
对x也进行这样的变换：
x=e^[ln(x)]
第一个等号的分子,就是代入x^x = e^[x(lnx)]
x - e^[x(lnx)]
=x{1 - e^[x(lnx)] / x}
=x{1 - e^[x(lnx)] / e^[ln(x)]}
=x{1 - e^[(x-1)lnx]}
第三步可以令（x-1）=u
于是就是lim {u->0} [-u*ln(1+u)] / [-u+ln(1+u)]
再用ln(1+u)等价于u代入：
得到结果是2
第一步，分子提出因子x，
第二步，x^(x-1)=e^{ln[x^(x-1)]}=e^[(x-1)*lnx]，这是用对数恒等式：a=e^lna.
第三步，利用 e^α≈1+α（当|α|非常小时，比如趋于0时）
所以，分子的极限=-(x-1)lnx=(1-x)lnx，
第四步，分子分母同时对x求导数（罗比塔法则）。。。。。
化为 1+xlnx...
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第一步，分子提出因子x，
第二步，x^(x-1)=e^{ln[x^(x-1)]}=e^[(x-1)*lnx]，这是用对数恒等式：a=e^lna.
第三步，利用 e^α≈1+α（当|α|非常小时，比如趋于0时）
所以，分子的极限=-(x-1)lnx=(1-x)lnx，
第四步，分子分母同时对x求导数（罗比塔法则）。。。。。
化为 1+xlnx/(x-1)
第五步，再一次求导数，。。。。
极限为 1+0+1=2.
收起
先是分子提取x，然后将x^x-1=elnx^(x-1)=,，然后用等价无穷小将1-e^(x-1)lnx等价为(x-1)lnx,最后带入x=1得到答案