作业帮帮我做一个线性代数的证明题：已知A是正交矩阵,A-I可逆,B=(A+I)(A-I)^-1 .证明B是反对称矩阵
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 05:57:31
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帮我做一个线性代数的证明题：已知A是正交矩阵,A-I可逆,B=(A+I)(A-I)^-1 .证明B是反对称矩阵
帮我做一个线性代数的证明题：已知A是正交矩阵,A-I可逆,B=(A+I)(A-I)^-1 .证明B是反对称矩阵
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证明:B^T=[(A+I)(A-I)^-1]^T
= (A-I)^-1^T(A+I)^T ----知识点1
= (A-I)^T^-1(A+I)^T --知识点2
= (A^T-I^T)^-1(A^T+I^T)
= (A^-1-I)^-1(A^-1+I) --知识点3
= (A^-1-I)^-1(A^-1A)(A^-1+I)
= (I-A)^-1(I+A)
= -(A-I)^-1(A+I)
= -(A+I)(A-I)^-1 --知识点4
= -B.
所以B是反对称矩阵.
B^{T}=((A+I)(A-I)^{-1})^{T}=(A-I)^{-T}(A+I)^{T}=(A^{-1}-I)^{-1}(A^{-1}+I)=(A^{-1}-I)^{-1}(A^{-1}+I)AA^{-1}=(I-A)^{-1}(I+A)=-(A+I)(A-I)^{-1}
注意：AA^{T}=I=AA^{-1},A^{T}=A^{-1},任意关于A的多项式都可以交换
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