作业帮关于【线性代数】【正惯性系数】求证：对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 20:44:03
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关于【线性代数】【正惯性系数】求证：对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和.
关于【线性代数】【正惯性系数】
求证：对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和.
关于【线性代数】【正惯性系数】求证：对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和.
首先,利用惯性定理可以不妨设A已经是合同标准型A=diag{I_p,-I_q,0}
然后把A拆成A1=diag{I_p,0,0},A2=diag{0,-I_q,0}
那么对任何k都有A2+B的第k大特征值不超过B的第k大特征值(可以用Courant-Fischer极大极小定理证明)
所以A2+B的正惯性指数不超过B的正惯性指数
然后A1的后两块就没必要细分了,只需划分成
I_p 0
0 0
A2+B相应地划分成
B1 B2^T
B2 B3
由Cauchy交错定理,B3的正惯性指数不超过A2+B的正惯性指数
再用一次Cauchy交错定理,A1+A2+B的正惯性指数不超过B3的正惯性指数+p
这个证明题很没意思
一个实对称矩阵他的正惯性性指数不会超过他的秩（这是关键，想到这个就很简单了）
又由秩的性质r（A+B）≤r（A)+r（B)
即可得证这个证明不完善吧
如果A的正惯性指数为2 秩为4
B的正惯性指数为2 秩为4
A+B的正惯性指数为5也是有可能的啊 A+B的正惯性指数5≤8=4+4...
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这个证明题很没意思
一个实对称矩阵他的正惯性性指数不会超过他的秩（这是关键，想到这个就很简单了）
又由秩的性质r（A+B）≤r（A)+r（B)
即可得证
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关于【线性代数】【正惯性系数】求证：对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和.
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