求下列微分方程满足初始条件的特解y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-X^2) y|x=1=1（x+y)(x^2+y^2)=4x^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 05:46:28
求下列微分方程满足初始条件的特解y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-X^2) y|x=1=1（x+y)(x^2+y^2)=4x^2
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求下列微分方程满足初始条件的特解y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-X^2) y|x=1=1（x+y)(x^2+y^2)=4x^2
求下列微分方程满足初始条件的特解y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-X^2) y|x=1=1
（x+y)(x^2+y^2)=4x^2

求下列微分方程满足初始条件的特解y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-X^2) y|x=1=1（x+y)(x^2+y^2)=4x^2
本题是高数教材中的微分方程第二种解法,齐次方程
右边分子分母同除以x^2,得：
y'=[(y/x)^2-2(y/x)-1]/[(y/x)^2+2(y/x)-1]
令y/x=u,y=xu,y'=u+xu'
则原方程化为：u+xu'=[u^2-2u-1]/[u^2+2u-1]
整理得：x(du/dx)=-(u^3+u^2+u+1)/(u^2+2u-1)
分离变量得：-(u^2+2u-1)/(u^3+u^2+u+1)du=dx/x
-(u^2+2u-1)/[(u+1)(u^2+1)]du=dx/x
令-(u^2+2u-1)/[(u+1)(u^2+1)]=A/(u+1)+(Bu+C)/(u^2+1)
比较后得：A=1,B=-2,C=0
则微分方程化为：[1/(u+1)-2u/(u^2+1)]du=dx/x
两边积分得：ln|u+1|-ln(u^2+1)=ln|x|+ln|C|
即：(u+1)/(u^2+1)=Cx
将u换回y/x
(y/x+1)/((y/x)^2+1)=Cx
即(y+x)/(y^2+x^2)=Cx^2
将y(1)=1代入得：C=1
(y+x)/(y^2+x^2)=x^2
检查你的答案吧,我觉得我算得没错.

又当x=2时,y=0 ∴1=e 2;+C ==>C=1-e 2; 故满足初始条件的特解是y=ln│e^x-e 2;+1│ (说明:此结果与你的答案有点出入)； （2）∵

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