作业帮已知定义域为r的单调函数f（x）是奇函数,当x＞0时,f（x）＝x分之3一2的x次方.（1）求f（x）的解析式（2）若对任意的t∈r,不等式f（t的平方一2t）＋f（2t的平方一k）＜0恒成立,求实数k的取值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 19:40:11
已知定义域为r的单调函数f（x）是奇函数,当x＞0时,f（x）＝x分之3一2的x次方.（1）求f（x）的解析式（2）若对任意的t∈r,不等式f（t的平方一2t）＋f（2t的平方一k）＜0恒成立,求实数k的取值
已知定义域为r的单调函数f（x）是奇函数,当x＞0时,f（x）＝x分之3一2的x次方.
（1）求f（x）的解析式
（2）若对任意的t∈r,不等式f（t的平方一2t）＋f（2t的平方一k）＜0恒成立,求实数k的取值范围.
已知定义域为r的单调函数f（x）是奇函数,当x＞0时,f（x）＝x分之3一2的x次方.（1）求f（x）的解析式（2）若对任意的t∈r,不等式f（t的平方一2t）＋f（2t的平方一k）＜0恒成立,求实数k的取值
分析：
（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数,知f（0）=0．当x＜0时,f(-x)=-x/3-2^﹙-x﹚,由函数f（x）是奇函数,知f(x)=x/3+2^﹙-x﹚,由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f(1)=-5/3＜f(0)=0且f（x）在R上单调,知f（x）在R上单调递减,由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0,得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）,再由根的差别式能求出实数k的取值范围．
（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数,
∴f（0）=0,
当x＜0时,-x＞0,
f(-x)=-x/3-2^﹙-x﹚,
又∵函数f（x）是奇函数,
∴f（-x）=-f（x）,
∴f(x)=x/3+2^﹙-x﹚,
综上所述,
f(x)=x/3-2^x(x＞0)
0(x=0)
x/3+2^﹙-x﹚(x＜0)．
（2）∵f(1)=-5/3＜f(0)=0,
且f（x）在R上单调,
∴f（x）在R上单调递减,
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0,
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）,
∵f（x）是奇函数,
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²）,
又∵f（x）是减函数,
∴t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k＜0得k＜-1/3即为所求．
点评：本题考查函数的恒成立问题,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化,同时注意函数性质的灵活运用．
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(1)
1°f（x）是奇函数,f（0）=0
2°设x<0，则-x>0，f（-x）=-x/3-2^-x=-f（x），所以f（x）=x/3+2^-x
最后写成分段函数即可。
(2)f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0，即f(t^2-2t)＜-f(2t^2-k)，f(t^2-2t)＜f(-2t^2+k)，可以判定函数单调递减。所以t^2-2t>-2t^2+k，即k<...
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(1)
1°f（x）是奇函数,f（0）=0
2°设x<0，则-x>0，f（-x）=-x/3-2^-x=-f（x），所以f（x）=x/3+2^-x
最后写成分段函数即可。
(2)f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0，即f(t^2-2t)＜-f(2t^2-k)，f(t^2-2t)＜f(-2t^2+k)，可以判定函数单调递减。所以t^2-2t>-2t^2+k，即k<3t^2-2t，而3t^2-2t得最小值是-1/3,故k<-1/3。
或者
1)当x<0时，-x>0，f(-x)= (-x)/3 - 2^(-x)
所以f(-x)=(-x)/3 - 2^(-x) =-f(x)
所以 f(x)=x/3+2^(-x)
x/3-2^x x>0
f(x)= 0 x=0
x/3+2^(-x) x<0
2）因为f(1)=-5/3
已知不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立，
即 f(t^2-2t) ＜ -f(2t^2-k)
因为f(x)为奇函数，所以f(t^2-2t) ＜ f(-2t^2+k)
又因为f(x)为R的单调递减函数，所以有t^2-2t > k-2t^2
即 3t^2-2t-k>0 恒成立，
所以△=4+12k<0，解得 k< -1/3
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