设Sn等比数列｛an｝的前n项和,且a2=1/9,S2=4/9 ,设bn=n/an,求数列｛bn｝的前n项和Tn

设Sn等比数列｛an｝的前n项和,且a2=1/9,S2=4/9 ,设bn=n/an,求数列｛bn｝的前n项和Tn
设Sn等比数列｛an｝的前n项和,且a2=1/9,S2=4/9 ,设bn=n/an,求数列｛bn｝的前n项和Tn

设Sn等比数列｛an｝的前n项和,且a2=1/9,S2=4/9 ,设bn=n/an,求数列｛bn｝的前n项和Tn
已知a2=1/9,
S2=a1+a2=4/9
a1=4/9-1/9=1/3
公比q=a2/a1=4/3
所以an=(1/3)*(4/3)^(n-1)
bn=3n*(3/4)^(n-1)
Tn=3[1+2*(3/4)+3*(3/4)^2+.+n*(3/4)^(n-1)]
(3/4)Tn=3[3/4+2*(3/4)^2+3*(3/4)^3+.+n*(3/4)^n]
Tn-(3/4)Tn=3[1+(3/4)+(3/4)^2+.+(3/4)^(n-1)-n*(3/4)^n]
(1/4)Tn=3{[1-(3/4)^n]/(1-3/4)-n*(3/4)^n}
Tn=12{4[1-(3/4)^n-n*(3/4)^n}
=12[4-(n+4)*(3/4)^n]

由a2=1/9,S2=4/9 故a1=S2-a2=1/3
故公比q=a2/a1=1/3
故an=a1*q^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=(1/3)^n
所以bn=n/an=n*3^n
Tn=b1+b2+...+bn
=1*3+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n——①...

全部展开

由a2=1/9,S2=4/9 故a1=S2-a2=1/3
故公比q=a2/a1=1/3
故an=a1*q^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=(1/3)^n
所以bn=n/an=n*3^n
Tn=b1+b2+...+bn
=1*3+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n——①
则: 3Tn = 3^2+2*3^3+...+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)——②
由①-②得：
-2Tn=3+3^2+3^3+...3^n-n*3^(n+1)
=3(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+1)
=-3/2(1-3^n)-n*3^(n+1)
故：Tn=n/2*3^(n+1)+3/4-3^(n+1)/4
希望能帮到你O(∩_∩)O

收起

已知各项均为正整数的公比为q的等比数列{an}中,Sn为前n项和,a3=1/9，bn=1/2(n-1) b1=0 b2=1/2 b3=1; b4=3/2;b5=2;b6=5/2

an=a1*q^(n-1)
a2=a1*q s2=a1+a2 由此可得 a1=1/3 q=1/3 an=1/3^n 则bn=n*3^n
tn=b1+.....+bn=3(1-3^n)/4-n3^(n+1)/2