[(1+x)^a-1]/x在x趋近0时的极限求详解能不用洛比达法则吗？

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 09:17:51
[(1+x)^a-1]/x在x趋近0时的极限求详解能不用洛比达法则吗？
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[(1+x)^a-1]/x在x趋近0时的极限求详解能不用洛比达法则吗？
[(1+x)^a-1]/x在x趋近0时的极限
求详解
能不用洛比达法则吗？

[(1+x)^a-1]/x在x趋近0时的极限求详解能不用洛比达法则吗？
不用的话,那就比较麻烦,用定义证明那就是难题了
用洛必达法则有：
lim(x→0)[(1+x)^a-1]/x
=lim(x→0)((1+x)^a-1)'/lim(x→0)(x)'
=lim(x→0)a(1+x)^(a-1)/1
=alim(x→0)(1+x)^(a-1)
=a

分子分母同时求导得到lim [(1+x)^a-1]/x=lim[a(1+x)^(a-1)]/1=lima(1+x)^(a-1)]=a
以上极限均是x趋近0

（Taylor泰勒公式法）
原式=lim(x->0)[(1+ax+o(x²)-1)/x] (应用泰勒公式展开，o(x)高阶无穷小，即lim(x->0)o(x)=0)
=lim(x->0)[a+o(x)]
=a。
这就可以不用罗比达法则求解此题。

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