在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 01:23:54
在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn?
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在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn?
在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn?

在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn?
a3=S3-S2=155-30=125
S2=a1+a2=125/q+125/q²=30
整理,得
6q²-25q-25=0
(q-6)(6q+5)=0
q=6或q=-5/6
(1)
q=6时,a1=a3/q²=125/36
Sn=a1(q^n-1)/(q-1)=(125/36)(6^n-1)/(6-1)
=25×(6^n-1)/36
=25×6^(n-2) -25/36
(2)
q=-5/6时,a1=a3/q²=125/(25/36)=180
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=180×[1-(-5/6)^n]/[1-(-5/6)]
=(1080/11)×[1-(-5/6)^n]
=1080/11 -(1080/11)(-5/6)^n

(S2-A1)²=A1×(S3-S2)
(30-A1)²=A1×125
A1²-60A1+900=125A1
A1²-185A1+900=0
(A1-5)(A1-180)=0
显然A1=5,
则A2=S2-A1=25
∴An=5^n
Sn=[5-5^(n+1)]/(1-5)=[5^(n+1)-5]/4=5/4×(5^n-1)

要有数字的直觉,a1+a2=30 a1+a2+a3=155
a3=125 容易想到5的三次方,那么a1=5,a2=25刚好符合
首项和公比都是5
Sn=[5^(n+1)-5]/4