无穷收敛级数怎么求和?比如:从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 04:53:16
无穷收敛级数怎么求和?比如:从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?
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无穷收敛级数怎么求和?比如:从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?
无穷收敛级数怎么求和?
比如:
从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?

无穷收敛级数怎么求和?比如:从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?
1+1/2²+1/3²+ … +1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
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将sinx按泰勒级数展开:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y=0的根为π²,(2π)²,…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和=一次项系数的相反数
即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6
参考http://zhidao.baidu.com/question/33465312.html?si=1