已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 08:12:49
![已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉](/uploads/image/z/10367014-22-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E5%9C%A8%28-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E%29%E5%86%85%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%E4%B8%94%E6%9C%89%E7%95%8C%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%AD%98%E5%9C%A8a%E2%88%88%28-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E%29%2C%E4%BD%BFf+%E2%80%99%E2%80%99%28a%29%3D0.%E6%9C%9B%E9%AB%98%E6%89%8B%E7%BB%99%E5%87%BA%E4%B8%A5%E5%AF%86%E8%AF%81%E6%98%8E.%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E5%9C%A8%28-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E%29%E5%86%85%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%E4%B8%94%E6%9C%89%E7%95%8C%EF%BC%8C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%AD%98%E5%9C%A8a%E2%88%88%28-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E%29%EF%BC%8C%E4%BD%BFf+%E2%80%99%E2%80%99%28a%29%3D0%E3%80%821%E6%A5%BC%E7%9A%84%E5%9B%9E%E7%AD%94%E6%88%91%E6%84%9F%E8%A7%89)
已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉
已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.
望高手给出严密证明.
已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0。
1楼的回答我感觉有问题,如果f(x)=arctanx,它二阶可导且有界,满足题设,但是f'(x)始终不=0,你所说的f'(θ)=0的θ 和f'(ρ)=0的ρ 都是不存在的。
感谢大侠的回答。
再看看其他大侠是怎么做的。
已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证:存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉
如果不存在x∈(-∞,+∞),使f ’’(x)=0,则f ’’(x)不变号,不妨设对任意f ’’(x)>0,则f ’(x)是单调增加的,由lagrange中值定理得
f (x)= f (x0)+f ’(c)(x-x0),其中x0是(-∞,+∞)任意一点,x0
f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m,且均为有限实数。
令N为足够大的正数,则有,lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-...
全部展开
f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m,且均为有限实数。
令N为足够大的正数,则有,lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-m]/(x-N)
所以,当x趋近于+∞时,总存在一个θ满足N<θ<+∞时,lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0
令P为一足够小的负数,有,lim(x趋近于-∞)[f(P)-f(x)]/(P-x)
同理可得,总存在一个ρ满足P>ρ>-∞,使得lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)=0
由于对任意区间[ρ,θ],总存在a∈[ρ,θ],使得f"(a)=(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
所以,当ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时,
有f"(a)=limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
={lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)-lim(θ趋近于+∞)f'(θ)}*limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)1/(ρ-θ)
=0
由于,[ρ,θ]在ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时是集合(-∞,+∞)
所以,存在a∈(-∞,+∞),使f"(a)=0。
把f'(θ)=0换成lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0就可以了。哈哈~01025585663523526363663
22
626.33333333333333333333333333333333333332111155416341
收起
f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m,且均为有限实数。
令N为足够大的正数,则有,lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-...
全部展开
f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m,且均为有限实数。
令N为足够大的正数,则有,lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-m]/(x-N)
所以,当x趋近于+∞时,总存在一个θ满足N<θ<+∞时,lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0
令P为一足够小的负数,有,lim(x趋近于-∞)[f(P)-f(x)]/(P-x)
同理可得,总存在一个ρ满足P>ρ>-∞,使得lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)=0
由于对任意区间[ρ,θ],总存在a∈[ρ,θ],使得f"(a)=(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
所以,当ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时,
有f"(a)=limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
={lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)-lim(θ趋近于+∞)f'(θ)}*limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)1/(ρ-θ)
=0
由于,[ρ,θ]在ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时是集合(-∞,+∞)
所以,存在a∈(-∞,+∞),使f"(a)=0。
把f'(θ)=0换成lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0就可以了。
收起