如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求OE/AD+OE/BC的值(3)求证:1/AD+1/BC=2/EF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/26 12:25:51
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求OE/AD+OE/BC的值(3)求证:1/AD+1/BC=2/EF
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.
(1)求证:OE=OF;
(2)求OE/AD+OE/BC的值
(3)求证:1/AD+1/BC=2/EF
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求OE/AD+OE/BC的值(3)求证:1/AD+1/BC=2/EF
第一个问题:
∵EO∥BC,∴△AEO∽△ABC,∴OE/BC=AO/AC.
∵OF∥BC,∴△DOF∽△DBC,∴OF/BC=DO/BD.
∵AD∥BC,∴△OAD∽△OCB,∴AO/AC=DO/BD.
由OE/BC=AO/AC、OF/BC=DO/BD、AO/AC=DO/BD,得:OE/BC=OF/BC,∴OE=OF.
第二个问题:
∵EO∥AD,∴△BEO∽△BAD,∴OE/AD=BO/BD.
结合第一个问题时证得的OE/BC=AO/AC,得:OE/AD+OE/BC=BO/BD+AO/AC,
再结合第一个问题时证得的AO/AC=DO/BD,得:OE/AD+OE/BC=BO/BD+DO/BD=1.
第三个问题:
由第二个问题的结论,有:OE/AD+OE/BC=1,由第一个问题的结论,有:OE=OF,
∴OF/AD+OF/BC=1,与OE/AD+OE/BC=1两式相加,得:
(OE+OF)/AD+(OE+OF)/BC=2,∴EF/AD+EF/BC=2,∴1/AD+1/BC=2/EF.
(1)∵EF∥AD,AD∥BC,
∴OEBC=AOAC=ODBD=OFBC,
故OE=OF;
(2)∵EF∥AD,AD∥BC,
∴OEAD=BEAB,OEBC=AEAB,
∴OEAD+
OEBC=AE+BEAB=ABAB=1;
(3)由(2)得:OE(1AD+1BC)=1,又OE=OF=12EF,
∴2OEEF=1,
∴OE(1AD+1BC)=2OEEF,
∴1AD+
1BC=
2EF.