请数学帝帮我证明以下等式成立.写错了，应该是这个

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 22:04:14
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写错了，应该是这个

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这样的题目用数学归纳法.
首先验证当n=1时左边等于1,右边等于1,等式成立；
第二步假设n=m时成立（编辑不方便,就不写了）
第三步,根据n=m成立,证明n=m+1成立.这里利用组合数性质.考虑n=m时出现的是c（m,k）,而n=m+1时出现的是c（m+1,k）,所以将c（m,k）转化成c（m+1,k）,
c（m,k）=m!/[k!*(m-k)!]=(m+1-k)/(m+1)*c(m+1,k).=(1-k/(m+1))c(m+1,k),该式两边同除以k,再乘以（-1)^(k-1),然后求和（从k=1到k=n）.这时左边正好是n=m时的情形.下面主要分析右面.
右面这时=求和（k=1到m）[(-1)^(k-1)c(m+1,k)/k-(-1)^(k-1)c(m+1,k)/(m+1)].
=求和（k=1到m）[(-1)^(k-1)c(m+1,k)/k]+求和（k=1到m）(-1)^(k)c(m+1,k)/(m+1)].
这里有两部分,前半部分刚好=A-(-1)^m/(m+1)（这里记n=m+1时右边等于A,至少了k=m+1这一项）.而后半部分刚好是一个二项式展开后去掉前后两项.（1-1）^(m+1)二项式展开对比后半部分,可以得到后半部分=-1/(m+1)-（-1）^(m+1)/(m+1)=-1+(-1)^m/((m+1).
这时候两部分相加刚好等于A-1/(m+1),而由假设知n=m时右边等于求和（k=1到m）1/k,这时候将左边的1/(m+1)移到右边,即得到A=求和（k=1到（m+1））1/k.所以n=m+1时成立.

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