求证题,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC⊥BD,求证:AO*CO+BO*DO=AD*BC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/25 09:57:59
求证题,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC⊥BD,求证:AO*CO+BO*DO=AD*BC
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求证题,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC⊥BD,求证:AO*CO+BO*DO=AD*BC
求证题,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC⊥BD,求证:AO*CO+BO*DO=AD*BC

求证题,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC⊥BD,求证:AO*CO+BO*DO=AD*BC
平移对角线加勾股定理,过程如下:
证明:过点D作DE‖AC交BC的延长线于点E
∵AC⊥BD,∴DE⊥BD
∵Rt△BDE中,有BD^2+DE^2=BE^2
又∵BD=BO+OD,DE=AC=OA+OC,BE=BC+CE=BC+AD
∴(OB+OD)^2+(OA+OC)^2=(AC+BD)^2
即OB^2+ +2OB•OD+OD^2+ OA^2+2OA•OC+ OC^2= AD^2 +2AD•BD+BD^2
∵ 在Rt△AOD中,有OA^2+OD^2=AD^2
在Rt△BOC中,有OB^2+OC^2=BD^2
∴2OB•OD+2OA•OC=2AD•BD
∴OB•OD+ OA•OC= AD•BD