作业帮求2道积分的 1.∫1/(x*根号1+x^2)dx 2.∫(√x^2-4)/xdx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 11:01:09
求2道积分的 1.∫1/(x*根号1+x^2)dx 2.∫(√x^2-4)/xdx
求2道积分的 1.∫1/(x*根号1+x^2)dx 2.∫(√x^2-4)/xdx
求2道积分的 1.∫1/(x*根号1+x^2)dx 2.∫(√x^2-4)/xdx
∫1/[x√(1+x²)]*dx
设x=tant,dx=1/cos²t*dt
1+tan²t=1/cos²t
√(1+tan²t)=1/cost
原式=∫cost/sint*cost*1/cos²t*dt
=∫1/sint*dt
=∫csctdt
=ln|tan(t/2)|+C
tan(t/2)=(1-cost)/sint=(1/cost-1)/(sint/cost)=[√(1+tan²t)-1]/tant
原式=ln|[√(1+tan²t)-1]/tant|+C
=ln|[√(1+x²)-1]/x|+C
=ln{[√(x²+1)-1]/|x|}+C
∫√(x²-4)/x*dx
当x>0时,设x=2/cost
dx=2sint/cos²t*dt
tan²t=1/cos²t-1
tant=√(1/cos²t-1)
cost=2/x
t=arccos(2/x)
原式=∫2tant*cost/2*2sint/cos²t*dt
=2∫tan²t*dt
=2∫(1/cos²t-1)dt
=2∫1/cos²t*dt-2∫dt
=2tant-2t+C
=2√(1/cos²t-1)-2t+C
=√(4/cos²t-4)-2t+C
=√(x²-4)-2arccos(2/x)+C
当x
如图 欢迎验证答案（求导数即可）
第一个换元吧，令x=tana，限定a在第一象限吧。。我算的是ln{[(根号下x的平方+1)-1]/|x|}+C，算得真麻烦，还不知道对不对。
第二个，令x=2csca,也是限定a在第一象限。。。我算的是(√x^2-4)-2arccos（2/|x|）+C，算得发麻。。不知正确与否。
图片版的看着不错，就是第一题答案没有化简
最后，ln((1+x^2)^(1/2)-1)/((1+x^2)^(1/2)+1)=ln[((1+x^2)^(1/2)-1)^2/x^2]=2ln[((1+x^2)^(1/2)-1)/|x|]
这样就更好了