求函数:y=(sinx+α)(cosx+α)的值域如题!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/06 12:11:27
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求函数:y=(sinx+α)(cosx+α)的值域如题!
求函数:y=(sinx+α)(cosx+α)的值域
如题!
求函数:y=(sinx+α)(cosx+α)的值域如题!
y=(sinx+α)(cosx+α)=sinxcosx+α(sinx+cosx)+α^2.
设sinx+cosx=t (-√2≤t≤√2),则sinxcosx=(t^2-1)/2,∴y=(t^2+2at+2a^2-1)/2=[(t +a )^2]/2+(a^2-1)/2.
⑴当a>√2时,t=-√2取得最小值,t=√2时取得最大值,值域为:[a^2-√2a+1/2,a^2+√2a+1/2].
⑵a<-√2时,t=√2取得最小值,t=-√2时取得最大值,值域为:[a^2+√2a+1/2,a^2-√2a+1/2].
⑶当-√2≤a≤√2时,t=-a最小值(a^2-1)/2,最大值是t=±√2函数值较大的一个.
原式可变形为y=1/2*[(sinx+cosx)+a]^2+[a^2-1]/2.因sinx+cosx=2sin(x+π/4),故sinx+cosx∈[-√2,√2].故问题可化为求二次函数y=1/2*[x+a]^2+[a^2-1]/2在[-√2,√2]上的值域问题。根据a的取值范围作相应的分类讨论,结合二次函数的单调性,数形结合即可求的值域。
y=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a^2.
设sinx+cosx=t (-√2≤t≤√2),
则sinxcosx=(t^2-1)/2,
∴y=f(t)=(t^2+2at+2a^2-1)/2=1/2 [(t +a )^2] +(a^2-1)/2. (-√2≤t≤√2)
函数f(t)是开口向上,对称轴t= -a的抛...
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y=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a^2.
设sinx+cosx=t (-√2≤t≤√2),
则sinxcosx=(t^2-1)/2,
∴y=f(t)=(t^2+2at+2a^2-1)/2=1/2 [(t +a )^2] +(a^2-1)/2. (-√2≤t≤√2)
函数f(t)是开口向上,对称轴t= -a的抛物线.
问题转化为二次函数在闭区间最值问题.
动轴定区间.
分对称轴在闭区间左侧,之中,右侧讨论,其中区间中点是一个重要界点.
①a<-√2,f(x)在[-√2,√2]上是减函数,
f min=f(√2)= a^2+√2a+1/2,
f max=f(-√2)= a^2-√2a+1/2,
②当-√2≤a<0,
f min=f(-a)=(a^2-1)/2,
f max=f(√2).
③0f min=f(-a)=(a^2-1)/2,
f max=f(-√2).
④当a>√2时,f(x)在[-√2,√2]上是增函数,
f min=f(-√2)
f max=f(√2),
综上:
当 a<-√2 时,值域为[a^2+√2a+1/2,a^2-√2a+1/2].
当-√2≤a<0时,值域为[(a^2-1)/2, a^2+√2a+1/2].
当0当 a>√2 时, 值域为[a^2-√2a+1/2,a^2+√2a+1/2].
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