由直线y=0,x=8及抛物线y=x²围成一个曲边三角形,在曲边y=x²上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y=0,x=8所围成的三角形面积最大?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 03:27:26
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由直线y=0,x=8及抛物线y=x²围成一个曲边三角形,在曲边y=x²上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y=0,x=8所围成的三角形面积最大?
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答:
0<=x<=8时y=x²
求导:y'=2x
设切点为(a,a²)
切线斜率k=y'(a)=2a
切线y=2a(x-a)+a²=2ax-a²
与x轴交点A(a/2,0)
与直线x=8交点B(8,16a-a²)
三角形面积:
S=(16a-a²)×(8-a/2)÷2=a(a-16)²÷4
对a求导:
4S'(a)=(a-16)²+2a(a-16)=0
因为:0<a<8
所以:a=16/3,此时面积最大
切点为(16/3,256/9)