已知圆C1:X^2+Y^2=1与圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1,过动点P(a,b)分别做圆C1C2C的切线PMPN(MN为切点)若PM=PN,则根号(a^+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)的最小值为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 05:06:45
![已知圆C1:X^2+Y^2=1与圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1,过动点P(a,b)分别做圆C1C2C的切线PMPN(MN为切点)若PM=PN,则根号(a^+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)的最小值为](/uploads/image/z/10432726-70-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86C1%3AX%5E2%2BY%5E2%3D1%E4%B8%8E%E5%9C%86C2%3A%28X-2%29%5E2%2B%28Y-4%29%5E2%3D1%2C%E8%BF%87%E5%8A%A8%E7%82%B9P%EF%BC%88a%2Cb%EF%BC%89%E5%88%86%E5%88%AB%E5%81%9A%E5%9C%86C1C2C%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BFPMPN%EF%BC%88MN%E4%B8%BA%E5%88%87%E7%82%B9%EF%BC%89%E8%8B%A5PM%3DPN%2C%E5%88%99%E6%A0%B9%E5%8F%B7%EF%BC%88a%5E%2Bb%5E2%29%2B%E6%A0%B9%E5%8F%B7%EF%BC%88%EF%BC%88a-5%EF%BC%89%5E2%2B%28b%2B1%29%5E2%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BA)
已知圆C1:X^2+Y^2=1与圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1,过动点P(a,b)分别做圆C1C2C的切线PMPN(MN为切点)若PM=PN,则根号(a^+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)的最小值为
已知圆C1:X^2+Y^2=1与圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1,过动点P(a,b)分别做圆C1C2C的切线PMPN(MN为切点)
若PM=PN,则根号(a^+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)的最小值为
已知圆C1:X^2+Y^2=1与圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1,过动点P(a,b)分别做圆C1C2C的切线PMPN(MN为切点)若PM=PN,则根号(a^+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)的最小值为
连接C1M、C2N、PC1、PC2
则C1M⊥PM、PC2⊥PN、C1M=C2N=1
∵PM=PN
∴PC1=PC2
即:P(a,b)在C1C2的中垂线y=-x/2 + 5/2上
y=√(a²+b²)+√[(a-5)²+(b+1)²]表示点P到点C1(0,0)和点B(5,-1)的距离之和
即:y=|C1P|+|BP|
∵|C1P|=|C2P|
∴y=|C2P|+|BP|
根据两边之和大于第三边
∴y=|C2P|+|BP|≥|C2B|=√34
P为“线段”C2B与y=-x/2 + 5/2的交点,如果不找C1的对称点,而直接用C1B与它的交点的话,就不对了,因为“线段”C2B与直线y=-x/2 + 5/2,没有交点.
现在应该对了
圆C1:X^2+Y^2=1圆心在C1(0,0),半径为1.
PM为圆C1的切线,所以,PM^2+MC1^2=PC1^2 。
同样的,圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1圆心在C2(2,4),半径为1.
PN为圆C2的切线,所以,PN^2+NC2^2=PC2^2 。
注意,MC1=1为C1的半径,NC2=1为C2的半径,而PM=PN,所以,必然有
PC1...
全部展开
圆C1:X^2+Y^2=1圆心在C1(0,0),半径为1.
PM为圆C1的切线,所以,PM^2+MC1^2=PC1^2 。
同样的,圆C2:(X-2)^2+(Y-4)^2=1圆心在C2(2,4),半径为1.
PN为圆C2的切线,所以,PN^2+NC2^2=PC2^2 。
注意,MC1=1为C1的半径,NC2=1为C2的半径,而PM=PN,所以,必然有
PC1^2=PC2^2,即 a^2+b^2 = (a-2)^2+(b-4)^2
所以,4a+8b=4+16=20,或 a=5-2b
所以,根号(a^2+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)
=根号((5-2b)^2+b^2)+根号((2b)^2+(b+1)^2)
=根号(5b^2-20b+25)+根号(5b^2+2b+1)
>=2四次根号((5b^2-20b+25)(5b^2+2b+1))
"="当且仅当5b^2-20b+25=5b^2+2b+1 >=0,所以,解得:
当b=12/11时,根号(a^2+b^2)+根号((a-5)^2+(b+1)^2)
的最小值为 2根号(5b^2+2b+1) = 2根号(5(12/11)^2+2(12/11)+1) = (2/11)根号(1105)
嗯,楼上的作法没问题,不过好像看错了,C2是(2,4)啊,怎么会C1C2中垂线是x=1呢?
收起
简单说 数形结合
P1C1+P1B
答案是2*(根号1105)/11?