作业帮N个小球标号1到n 分别放在编号1到N的盒子里,一个盒子一个 ,要求 小球的编号不能和所放入盒子的编号相同 求有多少种 分法?怎么求啊 请 讲解下 把 所求的 说出来啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 08:48:26
N个小球标号1到n 分别放在编号1到N的盒子里,一个盒子一个 ,要求 小球的编号不能和所放入盒子的编号相同 求有多少种 分法?怎么求啊 请 讲解下 把 所求的 说出来啊
N个小球标号1到n 分别放在编号1到N的盒子里,一个盒子一个 ,要求 小球的编号不能和所放入盒子的编号相同 求有多少种 分法?
怎么求啊 请 讲解下 把 所求的 说出来啊
N个小球标号1到n 分别放在编号1到N的盒子里,一个盒子一个 ,要求 小球的编号不能和所放入盒子的编号相同 求有多少种 分法?怎么求啊 请 讲解下 把 所求的 说出来啊
这是著名的信封问题,很多著名的数学家都研究过
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸.把错装的总数为记作f(n).假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法.
（2）b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把（除a之外的） 份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种.
总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种.a装入C,装入D……的n－2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
这是递推公式
后面求具体的通式没有去算,不知道好不好算,有兴趣可以考虑下.
分什么啊！？
这是完全错位排列，高考要求不高，只需掌握5个球的排列
2个有1种
3个有2种
4个有9种
5个有44种
共有（n-1）*（n-1）！种
以4个小球为例，一号球可放入234，有三种放法，即n-1。
假设1号放入2号中，那2号就有134三种放法，即n-1。
假设2号放入3号中，那3号就有14两种放法，即n-2.
此时3号只能放入4号，4号只能放入1号，即4号只有一种放法，即n-3.
共有3*3*2*1种，即（n-1）*（n-1）！种...
全部展开
共有（n-1）*（n-1）！种
以4个小球为例，一号球可放入234，有三种放法，即n-1。
假设1号放入2号中，那2号就有134三种放法，即n-1。
假设2号放入3号中，那3号就有14两种放法，即n-2.
此时3号只能放入4号，4号只能放入1号，即4号只有一种放法，即n-3.
共有3*3*2*1种，即（n-1）*（n-1）！种
收起
先求出把所有球放入不同盒子里的种数（包括相同编号），然后减去放在相同编号的球的种数，就可以算出放在不同编号的球的分法了。