作业帮求证 (20 17:58:59)求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/31 20:59:52
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求证 (20 17:58:59)求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
求证 (20 17:58:59)
求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
求证 (20 17:58:59)求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明：
必要性：因为关于x的方程ax^2+bx+c＝0有一个根为1,
所以把x=1代人方程ax^2+bx+c＝0可得：a+b+c=0；
充分性：因为a+b+c=0,所以c=-a-b
则方程ax^2+bx+c＝0可化为：ax^2+bx-a-b＝0
整理可得：(x-1)(ax+a+b)=0
所以x=1是方程ax^2+bx+c＝0的一个根
明显将x=1代入，可得a+b+c=0，充分条件
再证必要
c=-（a+b）
代入原方程为
ax^2+bx-a-b=a(x-1)(x+1)+b(x-1)=(x-1)(ax+a+b)
可看出x=1是方程的根
证毕
证明： 充分性，因为 a+b+c=0 所以 b＝－（a+c）
所以 ax^2+bx+c=0可写成ax^2－（a+c）x+c=0 显然此方程有一根是1.
必要性， 因为ax^2+bx+c=0有一个根为1 所以有a*1^2+b*1+c=0即 a+b+c=0
证毕。