已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 01:25:18
已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n
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已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n
已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n

已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n
a1=S1=1.
n>=2时,an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1,a1=1适合此式,所以an=2n-1,n为正整数.
bn=an/3^n=(2n-1)/3^n.
Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+…+(2n-1)/3^n (1)
(1)/3得:Tn/3=1/3^2+3/3^3+5/3^4+…+(2n-1)/3^(n+1) (2)
(1)-(2)得:2Tn/3=1/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+…+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+2(1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+1-1/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-2(n+1)/3^(n+1)
所以,Tn=1-(n+1)/3^n.

解 a(1)=S(1)=1 ,a(n)=S(n)-S(n-1)=2n-1 ,n≥2, 所以an=2n-1(n≥1)
∵T(1)=1-(n+1)/3^n=1/3=b(1)
T(n)-T(n-1)=1-(n+1)/3^n-[1-(n-1+1)/3^(n-1)]
化简得T(n)-T(n-1)=(2n-1)/3^n=a(n)/3^n=b(n) 即证

证:
n=1时,S1=a1=1²=1
n≥2时,
Sn=n² Sn-1=(n-1)²
an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时,a1=2-1=1,同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n-1。
bn=an/3ⁿ=(2n-1)/3ⁿ
...

全部展开

证:
n=1时,S1=a1=1²=1
n≥2时,
Sn=n² Sn-1=(n-1)²
an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时,a1=2-1=1,同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n-1。
bn=an/3ⁿ=(2n-1)/3ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=1/3^1+3/3²+5/3^3+...+(2n-1)/3ⁿ
Tn/3=1/3²+3/3³+...+(2n-3)/3ⁿ+(2n-1)/3^(n+1)
Tn-Tn/3=(2/3)Tn
=1/3+2/3²+2/3³+...+2/3ⁿ-(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+2(1/3²+1/3³+...+1/3ⁿ)-(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+2(1/9)[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3) -(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+1/3 -1/3ⁿ-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-1/3ⁿ-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-3/3^(n+1)-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-(2n-1+3)/3^(n+1)
=2/3-2(n+1)/3^(n+1)
Tn=(3/2)[2/3 -2(n+1)/3^(n+1)]=1-(n+1)/3ⁿ
等式成立。

收起

设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn 已知数列{an}的通项公式an=log2[(n+1)/(n+2)](n∈N),设其前n项的和为Sn,则使Sn 设数列an的前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn.求{an}的通项公式 已知数列{an}的前n项和为Sn,an+Sn=2,(n 设Sn是数列an的前n项和,已知a1=1,an=-Sn*Sn-1,(n大于等于2),则Sn= 设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1,(n为下标,n+1为上标),求通项公式? 设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,(2Sn)/n=a(n+1)-1/3n^2-n-2/3 设数列{an}前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn,求该书类的通项公式 已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3^n,记数列bn的前n项和为Tn. 设数列an的前n项和为Sn 已知a1=1 na的第n+1次=(n+2)Sn(n属于N正) 证明数列Sn/n是等比数列并求Sn 若数列...设数列an的前n项和为Sn 已知a1=1 na的第n+1次=(n+2)Sn(n属于N正) 证明数列Sn/n是等比数列并求Sn 若 设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn.(1)证明:当b=2时,{an-n.2^n-1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式 已知数列{an}的前n项和Sn=n^2,求1.数列{an}的通项公式 2设bn=1/ana(b-1),Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1,Sn=nan-2n(n-1) ,设数列{1/an*a(n+1)}的前n项和为Tn,求Tn 设数列an的前n项和Sn.已知首项a1=3,S(n+1)+Sn=2a(n+1),试求此数列的通向同事an和前n项和Sn如题 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=2n. (Ⅰ)证明:数列{an-2}为等比数列,并求出an;已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=2n.(Ⅰ)证明:数列{an-2}为等比数列,并求出an;(Ⅱ)设bn=(2-n) 数列{an},中,a1=1/3,设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=n(2n-1)an 求Sn 已知数列{an}前n项和为sn=2^(n+2)-4 设Bn=an*log2(an) 求数列b的前n项和 设数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2的[N+1]次方求an的通项公式