已知各项均为正数的数列an 前N项和为Sn,首项为a1,且1/2,an,sn等差数列 求{an}通项公式已知各项均为正数的数列an 前N项和为Sn,首项为a1,且1/2,an,sn等差数列 求{an}通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 00:41:52
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1/2,an,Sn成等差数列,则
2an=Sn +1/2
n=1时,2a1=a1+ 1/2
a1=1/2
n≥2时,
Sn=2an -1/2
S(n-1)=2a(n-1) -1/2
Sn-S(n-1)=an=2an -1/2 -2a(n-1)+1/2=2an -2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2,为定值.
数列{an}是以1/2为首项,2为公比的等比数列.
an=(1/2)×2^(n-1)=2^(n-2)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-2)
2^(n-2)表示2的n-2次方.
由1/2,a(n),S(n)成等差数列,得2a(n)=S(n)+1/2,故2a(n+1)=S(n+1)+1/2,两式相减得2a(n+1)-2a(n)=S(n+1)-S(n)=a(n+1),即a(n+1)=(2/3)a(n).从而{a(n)}是公比为2/3首项为a(1)的等比数列,故a(n)=a(1)*(2/3)^(n-1).
由题意知2an=Sn+1/2 ,an>0,
当n=1时,2a1=a1+1/2 ,解得a1=1/2 ,
当n≥2时,Sn=2an-1/2 ,S(n-1)=2a(n-1)-1/2 ,
两式相减得an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
整理得:an/a(n-1) =2
∴数列{an}是以1/2 为首项,2为公比的等比数列.
∴an=a1•2^(n-1)=1/2 ×2^(n-1)=2^(n-2).
由题意 2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时,S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1) 2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1) a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列,首项1/2,公比2 an=(1/2)*2^(n-1) =2^(n-2) Sn,an,1/2成等差数列 2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1...
全部展开
由题意 2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时,S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1) 2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1) a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列,首项1/2,公比2 an=(1/2)*2^(n-1) =2^(n-2) Sn,an,1/2成等差数列 2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1 2a1=1/2+S1=1/2+a1 a1=1/2 2an-2an-1=1/2+Sn-1/2-Sn-1=an an/an-1=2 所以{an}是以a1=1/2 q=2的等比数列 an=1/2×2^n=2^(n-1) an^2=2^(-bn) 2^2(n-2)=2^(-bn) bn=4-2n cn=bn/an=(4-2n)/2^(n-2) 下面错位相减求和: 2cn=(4-2n)/2^(n-1) …… 2c1=(4-2*1)/2^0 Tn=(2c1+……+2cn)-(c1+……cn) =2*[1/2^0+1/2^1+……+1/2^(n-2)]+(4-2n)/2^(n-1)-(4-2*1)/2^(-1) =2*(1-1/2^(n-2))+(4-2n)/2^(n-1)-4 =(3-2n)/2^(n-1)-2
收起